$a^2-1=(a-1)(a+1)$

$a-1$ is de voorganger van $a$ en $a+1$ de opvolger. Omdat $a$ oneven is, zijn die getallen even.

Van twee opeenvolgende even getallen is altijd één beide deelbaar door 4.

Omdat zowel $a-1$ als $a+1$ even getallen zijn en één van beide een viervoud is, kun je hun product delen door $4\cdot 2=8$.

Zie Voorbeeld 1.

Zie Voorbeeld 1.

$a$ kan zijn: een drievoud $a=3n$, één meer dan een drievoud $a=3n+1$, of twee meer dan een drievoud $a=3n+2$.
Als $a=3n$, dan is $a^3={\left(3n\right)}^3=27n^3=3\cdot 9n^3$ ook een drievoud.
Als $a=3n+1$, dan is $a^3={(3n+1)}^3=27n^3+27n^2+9n+1=3\cdot (9n^3+9n^2+3n)+1$ geen drievoud.
Als $a=3n+2$, dan is $a^3={(3n+2)}^3=27n^3+54n^2+36n+8=3\cdot (9n^3+18n^2+12n+2)+2$ geen drievoud.
Dus $a^3$ kan alleen een drievoud zijn als $a$ dat is. Q.e.d.

$n$ is deelbaar door 12, dan $n=12\cdot p=3\cdot 4\cdot p$ en dus ook deelbaar door zowel $3$ als 4.

$n$ is deelbaar door $3$ en `4` , dan $n=4\cdot 3\cdot q=12\cdot q$ dus ook deelbaar door `12` .

$n$ is deelbaar door $12$$\iff$$n$ is deelbaar door $3$ en `4` .

$n$ is deelbaar door `12` , dan $n=12\cdot p=2\cdot 6\cdot p$ en dus ook deelbaar door zowel $2$ als 6.

$n$ is deelbaar door $2$ en $6$ levert een probleem op omdat $6$ al deelbaar is door `2` . Bijvoorbeeld het getal $18$ is deelbaar door $6$ en door `2` , maar niet door `12` .

$n$ is deelbaar door $a\cdot b$$\iff$$n$ is deelbaar door $a$ en $b$ en GGD($a,b$) = $1$ (ofwel $a$ en $b$ hebben geen gemeenschappelijke delers behalve 1).

Omdat je er van uit gaat dat de stelling niet waar is en dan aantoont dat dit niet kan kloppen omdat er een tegenspraak ontstaat.

Neem aan dat de stelling niet waar is. Er bestaat dan een getal $p$ dat niet is te schrijven als het product van priemgetallen. Omdat $p$ zelf niet piem is, heeft $p$ delers, bijvoorbeeld $p=a\cdot b$. Voor die getallen $a$ en $b$ geldt nu dan minstens één van beide niet priem mag zijn, bijvoorbeeld $b$, dus $b=c\cdot d$. Voor die getallen $c$ en $d$ geldt nu dan minstens één van beide niet priem mag zijn, bijvoorbeeld $d$, dus $d=e\cdot f$. Etcetera...
Dit proces moet echter na een eindig aantal stappen beëndigen omdat $p$ een eindig getal is. In dat geval bestaat $p$ echter uit een product van alleen priemgetallen en dat is in strijd met de aanname dat de stelling niet waar is.

Als de stelling niet waar is, dan zit er in elk $0$ of $1$ duiven. In totaal zijn er dan maximaal $9\times 1=9$ duiven in de hokken geplaatst en dat klopt niet met de aanname dat er $10$ duiven in de hokken zitten.

Als er $n$ duiven verdeeld moeten worden over $m$ hokken, waarbij $n>m$, dan is er zeker één hok waarin minstens twee duiven zitten.

Je kunt maximaal vier getallen kiezen onder de vijf. Je kiest er derhalve altijd minstens twee uit `5, 6, 7, 8, 9, 10` . Welke twee je daarvan ook kiest altijd is hun som minstens `11` .

Het aantal andere mensen dat een ieder kent is een getal uit de serie `1, 2, 3, ..., 49` . Omdat er maar $49$ van die getallen zijn en $50$ personen precies één zo'n getal krijgen, is er altijd minstens één getal bij dat bij twee personen terecht komt.

$140=2^2\cdot 5\cdot 7$ en $504=2^3\cdot 3^2\cdot 7$ dus GGD(140,504) = $2^2\cdot 7=28$.

$143=11\cdot 13$ en $2541=3\cdot 7\cdot {11}^2$ dus `text(GGD)(143,2541) = 11` .

`text(GGD)(a,0)=a` .

`1`

Stel GGD($a,b)=p$, dan is $a-q\cdot b=c\cdot p-q\cdot d\cdot p=r$ waarbij $c$ en $q\cdot d$ geen gemeenschappelijke deler kunnen hebben, om dat dan $p$ niet de GGD van $a$ en $b$ was. Dus hebben $r=c\cdot p-q\cdot d\cdot p$ en $b=q\cdot d\cdot p$ ook $p$ als grootste gemeenschappelijke deler.

$504=3\cdot 140+84$ dus GGD(140,504) = GGD(140,84)
$140=1\cdot 84+56$ dus GGD(14,84) = GGD(84,56)
$84=1\cdot 56+28$ dus GGD(84,56) = GGD(56,28)
$56=2\cdot 28+0$ dus `text(GGD)(56,28) = text(GGD)(28,0) = 28` .

Ga na, dat je vindt: `text(GGD)(143,2541) = 11` .

$220=5\cdot 39+25$ dus `text(GGD)(220,39) = text(GGD)(39,25)` .
$39=1\cdot 25+14$ dus `text(GGD)(39,25) = text(GGD)(25,14)` .
$25=1\cdot 14+11$ dus `text(GGD)(25,14) = text(GGD)(14,11)` .
$14=1\cdot 11+3$ dus `text(GGD)(14,11) = text(GGD)(11,3)` .
$11=3\cdot 3+2$ dus `text(GGD)(11,3) = text(GGD)(3,2)` .
$3=1\cdot 2+1$ dus `text(GGD)(3,2) = text(GGD)(2,1) = 1` .
Nu is `1 = 3 - 1 * 2 = 3 - (11 - 3 * 3) = 4 * 3 - 11 = 4 * (14 - 1 * 11) - 11 =`
`= 4 * 14 - 5 * 11 = 4 * 14 - 5 * (25 - 1 * 14) = 9 * 14 - 5 * 25 = 9 * (39 - 1 * 25) - 5 * 25 =`
`= 9 * 39 - 14 * 25 = 9 * 39 - 14 * (220 - 5 * 39) = 79 * 39 - 14 * 220` . Je moet dus $79$ sprongen van $39$ maken en dan $14$ sprongen van $220$ terug.

Even en oneven wisselen elkaar af en de drievouden zitten om de drie getallen.

$n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)$
Je hebt nu voor $n$ de volgende vijf mogelijkheden: $n=5k$, $n=5k+1$, $n=5k+2$, $n=5k+3$ of $n=5k+4$.
Als $n=5k$, dan is $n^5-n=5k(5k-1)(5k+1)(25k^2+1)$, dus $n^5-n$ is deelbaar door $5$ en ook door $2$ en $3$ (drie opeenvolgende getallen), dus deelbaar door $5\cdot 3\cdot 2=30$.
Als $n=5k+1$ dan is $n^5-n=(5k+1)\cdot 5k\cdot (5k+2)({(5k+1)}^2+1)$, dus $n^5-n$ is deelbaar door $5$ en ook door $2$ en $3$ (drie opeenvolgende getallen), dus deelbaar door $5\cdot 3\cdot 2=30$.
Enzovoorts.

`text(GGD)(39,102) = 3`

`text(KGV)(33,91) = 1326`

Gebruik de algoritme van Euklides.

`text(KGV)(5,7) = 35` en `text(KGV)(10,15) = 30` .

$140=2^2\cdot 5\cdot 7$ en $504=2^3\cdot 3^2\cdot 7$ dus KGV(140,504) = $2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7=2520$.

KGV($p,q$) $=p\cdot q$ als $p$ en $q$ priem zijn.

Stel GGD($a,b$) $=u$, dan is $a=p\cdot u$ en $b=q\cdot u$ waarin $p$ en $q$ geen gemene delers hebben. Nu is: $a\cdot b=p\cdot u\cdot q\cdot u=p\cdot q\cdot u^2$. Ook is: KGV($a,b$) = KGV($pu,qu$) = $p\cdot q\cdot u$ (want $p$ en $q$ hebben geen gemene delers). Dus is KGV($a,b)=a\cdot b/u$.

`text(GGD)(33,91) = 1`

`text(KGV)(33,91) = 3003`

Algoritme van Euklides: $1=4\cdot 91-11\cdot 33$, dus $4$ sprongen van $91$ naar rechts en $11$ van $33$ naar links.