Soorten getallen

Soorten getallen > Bewijzen

123456Bewijzen

Uitleg

Je zit een middagje wat te spelen met kwadraten van oneven getallen:
`1^2 = 1`
`3^2 = 9 = 8 + 1`
`5^2 = 25 = 24 + 1`
`7^2 = 49 = 48 + 1`
enzovoorts.
Je krijgt het vermoeden:

Als

a

een oneven geheel getal is, dan is `a^2 - 1` deelbaar door `8` .

Maar is dat nu ALTIJD waar, dus voor ELK oneven getal?
Je zoekt een bewijs, een redenering die iedereen wel moet overtuigen, die waterdicht is.

Je bedenkt: `a = 2n + 1` , want oneven.
Dan is: `a^2 – 1 = (2n + 1)^2 – 1 = 4n^2 + 4n = 4(n^2 + n)` .
Dus is `a^2 - 1` in ieder geval een viervoud. Maar een achtvoud...?

Hopelijk zie je dat `a^2 - 1 = 4(n^2 + n) = 4n(n + 1)` .
Nu is ofwel `n` een even getal, ofwel zijn opvolger `n + 1` is dat.
Dus `n(n + 1)` is deelbaar door `2` .
En daarom is `a^2 - 1` deelbaar door `4 * 2` , dus door `8` .

Q.e.d.

Mooi hè, zo'n bewijs.
Q.e.d. staat voor "quod erad demonstrandum" (Latijn voor "wat te bewijzen was") en sluit traditiegetrouw een bewijs af.

Een paar opmerkingen nog:

Het gegeven bewijs was een direct bewijs: uitgaande van de eigenschappen van een oneven getal heb je het vermoeden bewezen.
Het vermoeden is nu een stelling geworden.
Het is een stelling van de vorm "Als..., dan...".
Je noemt dat een implicatie en je gebruikt er wel een kortere schrijfwijze voor:
`a` in oneven `=>` `a^2 - 1` is deelbaar door `8` .

Er bestaan ook indirecte bewijzen.
Daarbij ga je er van uit dat het vermoeden NIET geldig is en daaruit leid je een tegenspraak af, iets wat onmogelijk waar kan zijn.

Opgave 2

Bekijk de stelling die in de Uitleg wordt geformuleerd. Er is ook een heel ander bewijs van deze stelling mogelijk.

Ontbind $a^{2} - 1$ in factoren.

Leg uit waarom beide factoren even getallen zijn.

Leg uit waarom één van die twee factoren een viervoud is.

Bewijs hiermee de stelling.

Opgave 3

Bekijk het getal `x = 1` .
Vat de vorige uitdrukking op als vergelijking.
Trek aan beide zijden

x^{2}

af.
Je krijgt: `x - x^2 = 1 - x^2` .
Ontbinden: `x(1 - x) = (1 - x)(1 + x)` .
Beide zijden delen door `1 - x` geeft `x = 1 + x` .
Omdat `x = 1` wordt dit `1 = 1 + 1 = 2` .

Je ziet hier een "bewijs", namelijk het bewijs dat `1 = 2` .

Waar zit de fout in de redenering?

Opgave 4

Als $n \cdot m$ oneven is, dan zijn zowel $n$ als $m$ oneven.

Onderzoek of dit waar is en zo ja, probeer dan een bewijs te vinden.

verder | terug