`c=sqrt(1^2 + 1^2) = 2 ~~ 1,414213562`
Als je precies dit getal kwadrateert kom je niet op `2` uit.
Nee, er ontstaat geen herhaling.
Ga die waarde maar eens met al zijn decimalen kwadrateren: je komt nooit precies op uit (hoewel rekenmachines vaak wel net doen alsof!).
Misschien gaat er periodieke herhaling optreden als je meer decimalen zou kunnen bepalen en dan zou toch rationaal zijn.
geeft dezelfde problemen als , maar is wel een rationaal getal (zelfs een geheel getal).
Als het getal waaruit je de wortel trekt het kwadraat van een rationaal getal is.
Doe eerst gewoon en doe vervolgens het antwoord min 1. Je krijgt dan de volgende decimaal (een 4).
Doe dit antwoord keer en min (het voorste cijfer) en je krijgt weer een decimaal (...4 wordt ...37).
Dit weer keer en min het voorste cijfer, etc.
.
(Overigens houdt het meestal hierna wel op...)
Er treedt geen periodieke herhaling van de decimalen op.
Dit heb je bewezen in voorbeeld 1 van het onderdeel 1.3: "Bewijzen".
Dit is een indirect bewijs, een bewijs uit het ongerijmde.
Neem aan met en zo klein mogelijk. Dit geeft en dus dus moet een drievoud zijn. Dit kan alleen als zelf dat is en dan moet . En dus is dan en dus zodat ook en dus een drievoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.
Nu moet een viervoud zijn en dat is niet alleen zo als een viervoud is (bijvoorbeeld is een viervoud, maar niet).
Klopt niet: en dus rationaal.
Stel dat het product rationaal is. Dan ontstaat de volgende vermenigvuldiging met het irrationale getal, het rationale getal en het rationale antwoord (met natuurlijke getallen): dus , maar dat is weer rationaal. Dat is in strijd met het gestelde dat irrationaal is. Dus het product van een rationaal en een irrationaal gatal is irrationaal.
`sqrt(2) ~~ 1,4142135624`
Zie
Neem bijvoorbeeld .
Er zijn tienduizendtallen, en is het grootste kwadraat onder de
`13`
, dus je wortel begint met
`3`
. (Eigenlijk
`300`
.)
Nu moet daar zoveel bij worden opgeteld dat je een nieuw kwadraat kunt maken onder
de honderdtallen.
Omdat je honderdtallen over hebt, zoek je een getal waarvoor kleiner of gelijk blijft.
En nu gebruik je dat het verschil van die twee kwadraten gelijk is aan . Dit lukt met 6: en .
Je wortel begint met
`36`
. (Eigenlijk dus
`360`
.)
honderdtallen over is met de laatste eenheden samen 3625.
Nu doe je hetzelfde nog eens: je zoekt een getal waarvoor kleiner of gelijk blijft.
Dit gaat precies goed met : . De wortel komt uit: .
`423`
`12345`
`11111,111060556`
Neem aan met en zo klein mogelijk. Dit geeft en dus dus moet een zevenvoud zijn. Dit kan alleen als zelf dat is en dan moet . En dus is dan en dus zodat ook en dus een zevenvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.
Neem aan met en zo klein mogelijk. Dit geeft en dus dus moet een even getal zijn. Dit kan alleen als zelf dat is en dan moet . En dus is dan en dus zodat ook en dus een even getal is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.
Bijvoorbeeld en dus rationaal. De bewering klopt niet.
Stel dat het quotiënt rationaal is. Dan ontstaat de volgende deling met het irrationale getal, het rationale getal en het rationale antwoord (met natuurlijke getallen): dus , maar dat is weer rationaal. Dit is in strijd met het gestelde dat irrationaal is. Dus het quotiënt van een rationaal en een irrationaal gatal is irrationaal.
Neem aan met en zo klein mogelijk. Dit geeft en dus dus moet een vijfvoud zijn.
Dit kan alleen als zelf dat is en dan moet .
En dus is dan en dus zodat ook en dus een vijfvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de
aanname.
en is irrationaal.
`1,123 < sqrt((1,123^2 + 1,124^2)/2) < 1,124` .
.