Soorten getallen > Reële getallenVoorbeeld 2
Bewijs dat de som van een rationaal en een irrationaal getal een irrationaal getal is.
Laat een rationaal en een irrationaal getal zijn.
Neem vervolgens aan dat de stelling NIET waar is.
Dan is
`s = a + b`
dus een rationaal getal.
Bekijk nu
`b = s - a`
.
Zowel als is rationaal, dus ook
`s - a`
is rationaal (dat is bewezen in Voorbeeld 1 van 1.2: Rationale getallen). Maar daardoor
ontstaat een tegenspraak, want moet irrationaal zijn.
De aanname dat de stelling niet waar is leidt tot een tegenspraak.
De stelling is daarom waar.
Q.e.d.
In
Bewijs, of weerleg met behulp van een tegenvoorbeeld:
De som van twee irrationale getallen is irrationaal.
Het product van een irrationaal getal en een rationaal getal ongelijk aan is irrationaal.