Soorten getallen > Reële getallenTheorie
De reële getallen `RR` zijn alle denkbare decimale getallen.
De irrationale getallen zijn de reële getallen die niet rationaal zijn. De verzameling van de irrationale getallen heeft geen apart symbool.
Het getal `sqrt(2)` is niet als deling van twee gehele getallen te schrijven en is daarom een irrationaal getal.
Stel dat `sqrt(2)` wel een rationaal getal is, bijvoorbeeld `sqrt(2) = p/q` met `p` en `q` zo klein mogelijke gehele getallen.
Dat is
`2 = (p^2)/(q^2)`
en dus
`p^2 = 2q^2`
.
Dit betekent dat
`p^2`
even is en dus dat
`p`
even is.
Neem bijvoorbeeld
`p = 2u`
.
Dan is
`(2u)^2 = 2 q^2`
en dus
`4u^2 = 2q^2`
zodat
`q^2 = 2u^2`
.
Maar dan is
`q^2`
en dus ook
`q`
even.
Nu zijn
`p`
en
`q`
beide even.
En daarom kun je
`p/q`
vereenvoudigen.
Maar dat is in tegenspraak met de aanname aan het begin dat
`p`
en
`q`
zo klein mogelijk zouden zijn. Als
`sqrt(2)`
rationaal is, leidt dit tot iets dat niet mogelijk is. Dus is
`sqrt(2)`
niet rationaal.
Alleen de wortels uit kwadraten van gehele getallen en uit breuken waarvan teller
en noemer beide een kwadraat van een geheel getal zijn, zijn rationale getallen.
Ook
`π`
is een irrationaal getal.
Omdat je de irrationale wortels op veel rekenmachines alleen kunt benaderen, is het belangrijk deze wortels in de berekening te laten staan. Indien wenselijk benader je pas op het eind van alle berekeningen door een (afgerond en dus niet precies) decimaal getal.