Soorten getallen

Soorten getallen > Het dominoprincipe

123456Het dominoprincipe

Voorbeeld 2

Het aantal delen waarin het vlak verdeeld wordt door $n$ lijnen die elkaar twee aan twee snijden en waarvan er geen drie door één punt gaan, is `1/2(n^2 + n + 2)` .

> antwoord

Teken dit om in te zien dat het toevoegen van de lijn met nummer $n$ betekent dat er precies `n - 1` snijpunten en precies $n$ nieuwe delen bijkomen.
Gebruik verder het dominoprincipe:

Voor `n = 1` klopt de stelling:
met $1$ lijn zijn er `1/2(1^2 + 1 + 2) = 2` delen.
De stelling geldt voor $n$ `=>` de stelling geldt voor `n + 1` :
Bij $n$ lijnen zijn er `1/2(n^2 + n + 2)` delen.
Voeg je de lijn met nummer `n + 1` toe, dan komen er ook `n + 1` nieuwe delen bij.
Bij `n + 1` zijn er dus `1/2(n^2 + n + 2) + n + 1 = 1/2((n + 1)^2 + (n + 1) + 2)` delen.

Q.e.d.

Opgave 6

In Voorbeeld 2 wordt het principe van volledige inductie toegepast op een meetkundig probleem.

Laat met behulp van één of meer tekeningen zien dat de stelling geldt voor $n = 2$ .

Laat met behulp van één of meer tekeningen zien dat de stelling geldt voor $n = 3$ .

Waarom is het nodig dat er geen drie lijnen door één punt gaan?

Voeg aan je figuur (of figuren) een vierde lijn toe. Hoeveel vlakdelen komen er dan bij?

Waarom komen er bij de $(n + 1)$ de lijn $n + 1$ vlakdelen bij?

Loop nu zelf het bewijs van de stelling na.

Opgave 7

Teken je op een cirkel $n$ punten op gelijke afstanden van elkaar, dan zijn dat hoekpunten van een regelmatige $n$ -hoek. Het gaat om het aantal lichaamsdiagonalen van zo'n regelmatige $n$ -hoek.

Neem $n = 3$ . Hoeveel diagonalen zijn er?

Neem $n = 4$ . Hoeveel diagonalen zijn er nu?

Neem $n = 5$ . Hoeveel diagonalen zijn er in dit geval?

Laat zien dat het aantal diagonalen bij $n = 6$ gelijk is aan $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 - 6$ .

Bewijs met behulp van de dominopricipe dat het aantal diagonalen bij $n$ gelijk is aan $\frac{1}{2} \cdot n \cdot (n - 1) - n$ .

verder | terug