Soorten getallen

Soorten getallen > Het dominoprincipe

123456Het dominoprincipe

Uitleg

In het algemeen geldt: `1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2n(n + 1)` .

Dit kun je op een aantal manieren bewijzen. Een manier is de bewijsmethode van de volledige inductie. Je gebruikt dan het dominoprincipe:

(je gooit een eerste steen om)
de stelling geldt voor bijvoorbeeld `n=1` (voor een bepaalde `n` , vaak `n=1` ):
`1 = 1/2 * 1 * (1 + 1)` klopt.
(een omvallende steen raakt zijn opvolger die dan ook omvalt)
als de stelling voor een bepaalde $n$ geldt, dan volgt daaruit dat hij voor `n=1` geldt:
Dit betekent dat je moet aantonen dat
`1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 = 1/2(n + 1)(n + 2)`
volgt uit `1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2n(n + 1)` . Probeer maar eens...

Opgave 2

In de Uitleg 2 wordt het dominoprincipe gebruikt om een stelling over natuurlijke getallen te bewijzen.

Wat wordt in dit verband bedoeld met het dominoprincipe?

In welke situaties kun je dit dominoprincipe in een bewijs gebruiken?

Laat zien, dat `1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 = 1/2(n+1)(n + 2)`
volgt uit `1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2n(n + 1)` .

Ga na, dat uit de bewezen formule volgt $1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050$ .

Opgave 3

Je kunt de stelling $1 + 2 + 3 + ... + n - 1 + n = \frac{1}{2} n (n + 1)$ ook wel anders bewijzen.
Zet $1 + 2 + 3 + ... + n - 1 + n$ en $n + n - 1 + ... + 3 + 2 + 1$ maar eens onder elkaar en tel ze op.

Hoe gaat het bewijs dan verder?

verder | terug