Zelf onderzoeken.
`1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2n(n+1)`
Je bewijst het vermoeden voor een bepaalde waarde van `n` , meestal `n=1` . Vervolgens toon je aan dat als het vermoeden voor een bepaalde `n` waar is, dat het dan ook voor de opvolger van `n` waar is. Daardoor ontstaat het effect van een rij omvallende dominostenen: de stelling is waar voor `n=1` en daarom ook voor `n=2` en daarom ook voor `n=3` , enzovoort.
Bij vermoedens waar opvolgende aantallen worden toegepast.
Uit
`1+2+3+...+n-1+n=1/2n(n+1)`
volgt:
`1+2+3+...+n-1+n+n+1=1/2n(n+1)+n+1=(n+1)(1/2n+1)=1/2(n+1)(n+2)`
.
`1 +2 +3 +...+99 +100 =1/2*100 *101 =50 *101 =5050`
Je krijgt dan `n` keer `n+1` om op te tellen. Het totaal wordt dan `n(n+1 )` , maar dan heb je het dubbele van de rij getallen. Daarom moet je nog met `1/2` vermenigvuldigen.
`1+1/2=1 1/2` en `2-1/2=1 1/2` . Beide berekeningen zijn aan elkaar gelijk.
`1+1/2+1/4=1 3/4` en `2-1/4=1 3/4` . Beide berekeningen zijn aan elkaar gelijk.
`1+1/2+1/4+1/8=1 7/8` en `2-1/8=1 7/8` . Beide berekeningen zijn aan elkaar gelijk.
`1 +1/2+1/4+1/8+1/16=2 -1/16`
Stelling:
`1 +1/2+1/4+1/8+...+1/ (2^n) =2 -1/ (2^n)`
.
Bewijs:
De stelling geldt voor
`n=1`
:
`1 +1/2=1 1/2=2 -1/2`
.
Neem aan dat de stelling voor
`n`
geldt.
Voor
`n+1`
geldt dan
`1 +1/2+1/4+1/8+...+1/ (2^n) +1/ (2^ (n+1 ) ) =`
`2 -1/ (2^n) +1/ (2^ (n+1)) =2 -1/ (2^n) +1/2*1/ (2^n) =2 -1/2*1/ (2^n) =`
`2 -1/ 2^ (n+1)`
. Conclusie: de stelling geldt voor
`n=1`
en als hij voor
`n`
geldt, dan geldt hij ook voor
`n+1`
.
Q.e.d.
Bij twee snijdende lijnen zijn er `4` vlakdelen.
Bij drie lijnen die elkaar twee aan twee snijden, zijn er `4 +3 =7` vlakdelen.
Dan komen er, als je een lijn toevoegt, minder nieuwe vlakdelen bij.
`4`
De lijn snijdt elke andere lijn en maakt daardoor `2 n` nieuwe vlakdelen waarvan er `n-1` elkaar overlappen, die hebben we dus te veel geteld. `2n - (n-1) = 2n-n+1 = n+1` . Er komen dus inderdaad `n+1` nieuwe vlakdelen bij.
Inductiestap: `1/2(n^2+n+2 )+n+1 =1/2(n^2+3 n+4 )=` `1/2(n^2+2 n+1 +n+1 +2 )=1/2( (n+1 ) ^2+(n+1 )+2 )`
`0`
`2`
`5`
Vanuit elk punt een lijnstuk naar een ander punt: `1/2*6 *5` . De zijden eraf trekken: `1/2 * 6 * 5 - 6` .
Voor
`n=3`
klopt de stelling: het aantal diagonalen is
`1/2*3 *2 -3 =0`
.
Stel de stelling klopt voor
`n`
, dan geldt voor
`n+1`
dat er
`n-1`
diagonalen bijkomen. Neem bijvoorbeeld een regelmatige vierhoek
`ABCD`
(
`n=4`
). Deze heeft twee diagonalen,
`AC`
en
`BD`
. Je kunt nu een vijfhoek
`ABCDE`
tekenen, maar dan nog met de twee diagonalen
`AC`
en
`BD`
van de vierhoek. Je ziet dat er vanuit punt
`E`
twee nieuwe diagonalen bijkomen. Namelijk naar alle andere punten, behalve zijn buurpunten
`A`
en
`D`
. Dat zijn er dus
`n-2`
. Verder zie je ook dat er 1 diagonaal bij komt, tussen de twee buurpunten
`A`
en
`D`
. Bij elkaar dus
`n-2+1=n-1`
.
Dus wordt het aantal diagonalen dan:
`1/2*n*(n-1 )-n+n-1 =1/2*(n^2-n-2 )=1/2*(n^2+n-2 n-2 )=`
`1/2*(n^2+n)-n-1 =1/2*(n+1 )*n-(n+1 )` .
Dit betekent dat de stelling klopt voor
`n+1`
als hij voor
`n`
klopt.
Q.e.d.
Beide zijden uitrekenen en vergelijken.
`(1 -1/2)(1 -1/3)(1 -1/4)(1 -1/5)=1/5`
Stelling: `(1 -1/2)(1 -1/3)(1 -1/4)...(1 -1/n)=1/n` .
Bewijs:
Klopt onder andere voor
`n=2`
, zie a.
Stel de bewering klopt voor
`n`
, dan geldt voor
`n+1`
:
`(1 -1/2)(1 -1/3)(1 -1/4)...(1 -1/n)(1 -1/ ((n+1 )) )=`
`1/n(1 -1/ (n+1 ) )=1/n-1/ (n(n+1 )) = (n) / (n(n+1 )) =1/ (n+1 )`
.
Dit betekent dat de stelling klopt voor
`n+1`
als deze voor
`n`
klopt.
Q.e.d.
De stelling klopt voor
`n=1`
:
`1 =1/6*1 *2 *3`
.
Neem aan dat de stelling voor
`n`
klopt, dan geldt voor
`n+1`
:
`1 +2^2+3^2+4^2+...+n^2+ (n+1 ) ^2=1/6n(n+1 )(2 n+1 )+ (n+1 ) ^2=`
`(n+1)(1/6 n (2n+1) + (n+1))`
.
`(n+1 )*1/6*(n(2 n+1 )+6 n+6 )=1/6(n+1 )(2 n^2+7 n+6 )=`
`1/6(n+1 )(n+2 )(2 n+3 )=1/6(n+1 )(n+2 )(2 (n+1 )+1 )`
Dit betekent dat de stelling klopt voor
`n+1`
als deze voor
`n`
klopt.
Q.e.d.
`100-90=10`
`100-3*30=10`
`3*30` is deelbaar door `3` , dus als `100` deelbaar is door `3` , dan is het verschil van die twee getallen ook deelbaar door `3` , dus `10` is dan deelbaar door `3` .
Dan moet `23^500-23^100` deelbaar zijn door `2` en door `5` .
`23^500` en `23^100` zijn beide oneven, dus hun verschil is even en dus deelbaar door `2` .
Nu de deelbaarheid door `5` nog. `23^500-23^100` zou een bijzonder geval kunnen zijn van `n^5-n` , namelijk met `n=23^100` .
Bewijs:
Voor `n=1000` klopt het.
Als klopt dat `n^5-n` deelbaar is door `5` , is `(n+1)^5-(n+1)` dat dan ook?
`(n+1)^5-(n+1)=`
`n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-n-1=`
`n^5-n+5(n^4+2n^3+2n^2+n)`
En inderdaad: Als het eerste deel deelbaar is door `5` , dan klopt het, want het tweede deel is ook deelbaar door `5` .
Dus `23^500-23^100` is deelbaar door `10` .
Stap 1: voor `n=1` geldt: `9^1-1=8` . Dit is deelbaar door `8` en dat klopt dus.
Stap 2: ervan uitgaande dat `9^n-1` deelbaar is door `8` , moet bewezen worden dat dit ook geldt voor `9^(n+1)-1` .
`9^(n+1)-1=9^n*9-1`
`9^n*9-1=9^n-1+8*9^n`
, en hiervoor geldt dat
`9^n-1`
deelbaar is door
`8`
en
`8*9^n`
deelbaar is door
`8`
. Dus
`9^n-1 + 8*9^n`
is deelbaar door
`8`
en dus is
`9^n-1`
deelbaar door
`8`
.
Q.e.d.
Voor
`n=0`
geldt:
`(1+r)^0=1`
en
`1+0*r=1`
, zodat het gestelde klopt voor
`n=0`
.
Ervan uitgaande dat het voor elke
`n`
klopt, onderzoek je of het ook voor
`n+1`
klopt.
`(1+r)^(n+1)=(1+r)^n*(1+r)`
Volgens eerder gestelde geldt:
`(1+r)^n*(1+r) ≥ (1+n*r)(1+r)`
.
Nu is:
`(1+r)^n*(1+r)=1+n*r^2+n*r+r=1+(n+1)r+n*r^2`
.
En
`1+(n+1)r+n*r^2 ≥ 1+(n+1)r`
.
Dus
`(1+r)^(n+1)≥1+(n+1)r`
.
Q.e.d.
Voor
`n=1`
geldt:
`3^3+2^0=28`
. Dat is een zevenvoud.
Stel voor
`n`
geldt het gestelde, dan moet het voor
`n+1`
ook gelden.
Voor
`n+1`
krijg je
`3^(2(n+1)+1)+2^(n+1-1)`
.
Dit is:
`3^(2n+3)+2^n= 7*3^(2n+1)+2*(3^(2n+1)+2^(n-1))`
.
Het eerste deel (
`7*3^(2n+1)`
) is een zevenvoud, het tweede deel is twee keer een zevenvoud en dus ook weer een
zevenvoud.
Q.e.d.
`1 +2 +4 +8 =15`
`2^4-1=16-1=15`
`1 +2 +4 +8 +16=31`
`2^5-1=32-1=31`
`2^4-1 +2^4=2 *2^4-1 =2^1*2^4-1 =2^5-1`
Je moet bewijzen: `2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1` .
De stelling geldt voor
`n=1`
:
`2^0 + 2^1 = 2^(1 + 1) - 1`
klopt inderdaad.
Als de stelling geldt voor
`n`
`rArr`
de stelling geldt voor
`n + 1`
schrijf je als volgt:
Als geldt
`2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n = 2^(n+1) - 1`
dan moet ook gelden
`2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n +2^(n+1) = 2^(n+2) - 1`
.
Je bewijst dit door in de eerste uitdrukking aan beide kanten
`2^(n+1)`
op te tellen. Zo ontstaat een uitdrukking waarvan het linkerdeel gelijk is aan de
tweede uitdrukking hierboven.
`1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n + 2^(n+1) = 2^(n+1) - 1 + 2^(n+1)`
.
Daarna toon je aan dat het rechter deel hiervan gelijk is aan het rechter deel van
de tweede uitdrukking hierboven.
`2^(n+1) - 1 + 2^(n+1)=2*2^(n+1)-1=2^(n+2)-1`
Q.e.d.
Ja.
Voor `n=2` construeer je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van `1` en `1` . De hypotenusa is dan `sqrt(2 )` .
Voor `n=3` construeer je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van `sqrt(2 )` en `1` . De hypotenusa is dan `sqrt(3 )` .
De stelling klopt voor
`n=1`
(zie de uitwerking bij a).
Neem aan dat de stelling klopt voor
`n`
. Dan heb je een lijnstuk met lengte
`sqrt(n)`
kunnen construeren. Daarop construeer je een rechthoekige driehoek met
`sqrt(n)`
en
`1`
als rechthoekszijden. De hypotenusa van die driehoek is
`sqrt(n+1 )`
(Pythagoras).
Dit betekent dat de stelling klopt voor
`n+1`
als hij voor
`n`
klopt.
Q.e.d.
De stelling klopt voor
`n=1`
:
`1 =1/4*1^2*2^2`
.
Neem aan dat de stelling voor
`n`
klopt, dan geldt voor
`n+1`
:
`1 +2^3+3^3+4^3+...+n^3+ (n+1 )^3=1/4n^2 (n+1 )^2+ (n+1 )^3=`
`1/4 (n+1 )^2*(n^2+4 (n+1 ))=1/4 (n+1) ^2 (n+2) ^2`
.
Dit betekent dat de stelling klopt voor
`n+1`
als hij voor
`n`
klopt.
Q.e.d.
De stelling geldt voor
`n=3`
: de hoekensom van een driehoek is
`180^@`
.
Neem aan dat de stelling voor
`n`
klopt, dan geldt voor
`n+1`
dat de hoekensom gelijk is aan
`(n-2 )*180^@`
+
`180^@`
=
`((n+1 )-2 )*180^@`
.
Dit betekent dat de stelling klopt voor
`n+1`
als hij voor
`n`
klopt.
Q.e.d.
Dat de hoeken kleiner dan
`180^@`
moeten zijn wordt duidelijk uit het feit dat er bij de overgang van
`n`
naar
`n+1`
precies één driehoek bij moet komen. Dat gaat niet zonder meer op als je
"inspringing"
toelaat.