Toon aan met het dominoprincipe:
Voor elke `n in NN` is `n^3-n` deelbaar door 3.
Gebruik de bewijsmethode van volledige inductie:
De kleinste `n` is `0` . Daarvoor klopt het, want `0^3-0=0` en dat is deelbaar door `3` .
Nu moet je aantonen:
Als
`n^3-n`
deelbaar is door
`3`
, dan geldt ook:
`(n+1)^3-(n+1)`
is deelbaar door
`3`
.
Dat gaat als volgt:
Maak uit de uitdrukking
`(n+1)^3-(n+1)`
de uitdrukking
`n^3-n`
vrij:
`(n+1)^3-(n+1)=n^3+3n^2+3n+1-n-1=n^3-n+3(n^2+n)`
Bekijk nu het tweede deel van de uitdrukking: `3(n^2+n)` . Dat is deelbaar door `3` .
Conclusie:
Als
`n^3-n`
deelbaar is door
`3 `
, dan is
`n^3-n+3(n^2+n)`
deelbaar door
`3`
en omdat dat gelijk is aan
`(n+1)^3-(n+1)`
, is dat ook deelbaar door
`3`
.
Omdat het vermoeden voor `n=0` klopt, klopt het dus voor alle `n in NN` .
Bekijk een drietal beweringen.
`1 +1/2=2 -1/2`
`1 +1/2+1/4=2 -1/4`
`1 +1/2+1/4+1/8=2 -1/8`
Je kunt er regelmaat in ontdekken.
Ga na dat deze beweringen correct zijn.
Hoe zou de volgende bewering in deze serie luiden?
Formuleer een algemene regel en bewijs die regel met behulp van volledige inductie.