Soorten getallen

Soorten getallen > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Zie figuur.

Buiten het hele diagram. De uitkomst is geen reëel getal. Met dergelijke getallen leer je later nog werken, het zijn "complexe getallen".

Opgave 2

$13464 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 11 \cdot 17$ en $46035 = 3^{3} \cdot 5 \cdot 11 \cdot 31$ .
`text(GGD)(13464,46035) = 99` en `text(KGV)(13464,46035) = 6260760` .

Opgave 3

$\frac{5}{41} = 0, \underset{̲}{12195}$ .

$\frac{538461}{999999}$

Opgave 4

Nee, het product van twee irrationale getallen kan rationaal zijn: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ .

Neem aan $\sqrt{6} = \frac{p}{q}$ met $p$ en $q$ zo klein mogelijk. Dit geeft $\frac{p^{2}}{q^{2}} = 6$ en dus $p^{2} = 6 q^{2}$ dus moet $p^{2}$ een zesvoud zijn. Dit kan alleen als $p$ zelf dat is en dan moet $p = 6 a$ . En dus is dan ${6 a}^{2} = 6 q^{2}$ en dus $q^{2} = 6 a^{2}$ zodat ook $q^{2}$ en dus $q$ een zesvoud is. De breuk kan worden vereenvoudigd en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 5

$7 + 2 \sqrt{6}$

$6 + \sqrt{6}$

$- \frac{2}{5} + \frac{1}{10} \sqrt{6}$

Opgave 6

Neem aan `\ ^5 log(7) = p/q` met $p$ en $q$ zo klein mogelijke gehele getallen. Dit geeft $7 = 5^{(\frac{p}{q})}$ en dus $7^{q} = 5^{p}$ . Dit kan kan niet als $p$ en $q$ gehele getallen zijn en dat is in tegenspraak met de aanname.

Opgave 7

De stelling klopt voor $n = 1$ : $1 + 3 = \frac{1}{2} (3^{2} - 1)$ .
Neem aan dat de stelling klopt voor $n$ , dan geldt voor $n + 1$ : $1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + ... + 3^{n} + 3^{(n + 1)} = \frac{1}{2} \cdot (3^{(n + 1)} - 1) + 3^{(n + 1)} = \frac{3}{2} \cdot 3^{(n + 1)} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (3 \cdot 3^{(n + 1)} - 1) = \frac{1}{2} (3^{(n + 2)} - 1)$ .
Dit betekent dat de stelling klopt voor $n + 1$ als hij voor $n$ klopt.
Q.e.d.

Opgave 8Modulair rekenen

Modulair rekenen

`24, 36, 48` , etc., maar ook $-12, -24$ , etc.

Omdat je de veelvouden van $12$ moet weglaten en daan steeds $3$ overhoudt.

$4 + k \cdot 12$

$1314 \equiv 6$ (mod.12) en $967 \equiv 7$ (mod.12).
Ga nu op beide manieren na, dat $1314$ + $967$ (mod.12) $\equiv$ 1(mod.12).
Ga ook op beide manieren na, dat $1314 \cdot 967$ (mod.12) $\equiv$ 6(mod.12).

$a + k \cdot m \pm b + l \cdot m = a \pm b + (k + l) \cdot m$ .
$(a + k \cdot m) \cdot (b + l \cdot m) = a \cdot b + (a l + b k + k l m) \cdot m$ .

`x -= 9(mod.12)`

$x \equiv 9$ (mod.12)
Je kunt dit met je rekenmachine vinden door de tabel van $\frac{3 + k \cdot 12}{7}$ te bekijken en te zoeken naar een gehele uitkomst. Die vind je bij $k = 5$ en de uitkomst is daar `9` .

De tabel van $\frac{3 + k \cdot 12}{2}$ heeft geen gehele uitkomsten, dus deze vergelijking is onoplosbaar.

ASCII: 87 73 83 75 85 78 68 69 wordt `11` `37` `60` $61$ $84$ $00$ $74$ $86$

Bij het terugrekenen moet je telkens `12x + 34 -= text(code)(mod.97)` oplossen door naar de tabel van $\frac{code - 34 + k \cdot 97}{12}$ te kijken en de eerste gehele uitkomst te zoeken.

Opgave 9Het vermoeden van Goldbach en andere openstaande kwesties

Het vermoeden van Goldbach en andere openstaande kwesties

$48 = 43 + 5$ en $76 = 71 + 5$

Er zijn oneindig veel getallen.

Bijvoorbeeld het abc-vermoeden heeft een eigen Nederlandstalige website. Op de pagina Wikipedia: Wiskundig vermoeden van de Nederlandstalige Wikipedia vind je een lijstje met een aantal vermoedens.

verder | terug