Soorten getallen

Soorten getallen > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 8Modulair rekenen

Modulair rekenen

Een voorbeeld van modulair rekenen is klokrekenen met gehele urenaantallen: als je bij $9$ uur $5$ uur optelt, krijg je $14$ uur, maar op de klok is dat weer $2$ uur. Dat komt omdat je alleen rekent met de twaalf getallen `0, 1, 2, 3, ..., 10, 11` . Zodra je bij $12$ bent is dat weer `0` , etc.
Je zegt wel $12 \equiv 0 (mod .12)$ . Uitspraak: " `12` komt overeen met $0$ modulo `12` ".

Hoewel het voorgaande rekenwerk met een rekenmachine nog best lastig is, is het eenvoudig te programmeren en dus totaal ongeschikt voor echte geheime code. Daarvoor bestaan ingewikkelder procedures, die wel met modulorekenen te maken hebben...

Noem nog drie getallen die overeen komen met `0 (mod.12)` .

Waarom komen alle getallen van de vorm $3 + k \cdot 12$ met $k \in ℤ$ overeen met $3 (mod .12)$ ?

Alle getallen die overeen komen met `3 (mod.12)` vormen de restklasse $\bar{3}$ .

Welke getallen vormen de restklasse $\bar{4}$ ?

Je kunt $1314 + 967 (mod .12)$ en $1314 \cdot 967 (mod .12)$ op twee manieren berekenen: eerst de optelling / vermenigvuldiging uitvoeren en dan veelvouden van $12$ weglaten of eerst veelvouden van $12$ weglaten bij de afzonderlijke getallen $1314$ en $967$ en de bewerking uitvoeren. Toon aan dat dit geen verschil maakt.

Bewijs dat $a \pm b (mod . m) = a (mod . m) \pm b (mod . m)$ en $a + b (mod . m) = a (mod . m) + b (mod . m)$ .

Delen is bij restklassen een heel ander verhaal. Je komt dit bijvoorbeeld tegen bij het oplossen van eenvoudige vergelijkingen.

Los op: `x + 5 -= 2 (mod.12)` .

Los op: `7x -= 3 (mod.12)` .

Welk probleem doet zich voor als je `2x -= 3 (mod.12)` wilt opossen?

In de moderne cryptografie (geheimschrift schrijven) wordt van het rekenen met restklassen gebruik gemaakt. Alle symbolen worden dan omgezet naar hun bijbehorende ASCII-code, naar tweecijferige decimale getallen. Vervolgens kun je elk symbool versleutelen naar bijvoorbeeld `f(x) -= 12 * x + 34(mod.97)` waarin $x$ de tweecijferige ASCII-code van het symbool voorstelt en $f$ de zogenaamde encryptiefunctie is. Door `mod.97` te werken gebruik je alleen de eerste $97$ ASCII-tekens.

Versleutel zo het woord WISKUNDE.

Hoe kun je het vanuit het versleutelde woord de oorspronkelijke tekst weer terugvinden? Gaat dat gemakkelijk?

Opgave 9Het vermoeden van Goldbach en andere openstaande kwesties

Het vermoeden van Goldbach en andere openstaande kwesties

Het vermoeden van Goldbach is een tot nu toe onbewezen vermoeden over getallen. Nog nooit heeft iemand een tegenvoorbeeld gevonden voor dit vermoeden, maar een bewijs...?

Op 7 juni 1742 schreef Christian Goldbach een brief aan Euler. Hij beweert hierin:

Elk even getal groter of gelijk aan `4` is te schrijven als de som van twee priemgetallen.

Tot nu toe heeft niemand een sluitend bewijs kunnen vinden...

Het is één van de vermoedens in de wiskunde die nog openstaan voor een bewijs, dus voel je uitgedaagd!

Laat zien dat het vermoeden van Goldbach geldt voor de getallen $48$ en `76` . Probeer zelf nog maar een paar andere getallen.

Waarom is het onmogelijk (ook als je veel helpers zou hebben met snelle computers voor het rekenwerk) om de stelling op deze manier te bewijzen?

Zoek nog één of twee openstaande vraagstukken in de wiskunde en probeer er meer informatie over te verzamelen. Leg dit vast in een voor jou begrijpelijke tekst.

verder | terug