Complexe getallen

Opgave 10

LET OP! Het is de bedoeling dat je deze opgave handmatig doet. Gebruik de grafische rekenmachine alleen als controlemiddel! Bepaal modulus, argument en de hoofdwaarde van het argument van de volgende complexe getallen. Schrijf ze vervolgens in de poolvoorstelling.

a

$1$

b

$2$

c

$1 + i$

d

$i$

e

$-3 i$

f

$-1 + i$

g

$1 - i$

h

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{(3)}$

Opgave 11

Gegeven is $z = (1 + i) (0, 5 \sqrt{(3)} + 0, 5 i)$ .

Bereken exact: $Re (z), Im (z), | z |, arg (z)$ en $Arg (z)$ .

Opgave 12

Toon aan, dat $Re (z) \leq | z |$ voor elk complex getal $z$ .

Opgave 13

Gegeven $z_{1} = -2 + 1,5 i$ en $z_{2} = 4 - 3 i$ .

Laat zien dat voor deze twee complexe getallen de vermenigvuldigregel geldt.

Opgave 14

a

Bereken ${(2 - 2 i)}^{5}$ met behulp van de stelling van De Moivre.

b

Bereken ${(2 - 3 i)}^{5}$ met behulp van de stelling van De Moivre.

c

Wat is het nadeel van het gebruik van deze stelling?

Opgave 15De geconjugeerde van z

De geconjugeerde van z

Onder het toegevoegde complexe getal van een complex getal $z = x + i y$ versta je het complexe getal $\bar{z} = x - i y$ . Je noemt $\bar{z}$ ook wel de geconjugeerde van $z$ .

a

Toon aan, dat $z \bar{z} = {| z |}^{2}$

b

Bewijs: $\bar{(z_{1} + z_{2})} = \bar{(z_{1})} + \bar{(z_{2})}$

c

Bewijs: $\bar{(z_{1} \cdot z_{2})} = \bar{(z_{1})} \cdot \bar{(z_{2})}$

d

Bewijs dat $z = \bar{z}$ alleen geldig is als $z$ reëel is, maar dan ook altijd waar is.

Opgave 16De driehoeksongelijkheid

De driehoeksongelijkheid

Je weet vast wel, dat in een driehoek elke zijde korter is dan de som van de lengtes van de twee andere zijden. In de vlakke meetkunde heet dit de driehoeksongelijkheid.

Toon behulp van deze ongelijkheid aan, dat: $| z_{1} \pm z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |$ .

Opgave 17Punten in het complexe vlak

Punten in het complexe vlak

Je kunt een complex getal ook voorstellen als een punt in het complexe vlak. Teken daarin alle complexe getallen `z` waarvoor geldt:

a

$| z | = 5$

b

$| z - 2 | = 2$

c

$| z - i | = 2$

d

$| z - i | = | z + 1 |$

Opgave 18Bewijs van de vermenigvuldigregel voor complexe getallen

Bewijs van de vermenigvuldigregel voor complexe getallen

Bewijs de vermenigvuldigregel voor complexe getallen door gebruik te maken van poolvoorstellingen van beide complexe getallen en formules voor $sin (φ_{1} + φ_{2})$ en $cos (φ_{1} + φ_{2})$ toe te passen.

Opgave 19Complexe getallen delen

Complexe getallen delen

Dat complexe getallen kunnen worden gedeeld heb je al gezien. Net als bij vermenigvuldiging kun je eenvoudige regels afleiden voor het gedrag van modulus en argument daarbij: $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}$ en $arg (\frac{z_{1}}{z_{2}}) = arg (z_{1}) - arg (z_{2})$

a

Neem $z_{1} = 1 + i \sqrt{(3)}$ en $z_{2} = 1 - i$ en bereken $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ . Laat in een tekening zien dat de beide regels opgaan.

b

Bewijs de regel voor het delen van complexe getallen.

Verwerken