Complexe getallen

Complexe getallen > Modulus en argument

Overzicht

123456Modulus en argument

Voorbeeld 2

Laat zien dat voor de complexe getallen `z_1=3+4i` en `z_2=2,4+i` de vermenigvuldigregel (zie Theorie) geldt.

> antwoord

Ga na (zie Voorbeeld 1) dat: `|z_1|=5` en `arg z_1≈0,93` .
Ga ook na, dat: `|z_2|=2,6` en `arg z_2≈0,39` .

Nu is `z_1·z_2=(3+4i)(2,4+i)=3,2+12,6i` .

Hiervoor geldt: `|z_1·z_2|=sqrt(3,2^2+12,6^2)=13` en `arg(z_1·z_2)=arctan((12,6)/(3,2))≈1,32` .

Inderdaad geldt `|z_1·z_2|=|z_1|·|z_2|` en `arg z_1·z_2=arg z_1+arg z_2` .

Natuurlijk is dit nog geen bewijs voor de vermenigvuldigregel.

Het kan zijn dat `arg z_1+arg z_2` op meer dan `2π` uitkomt. In dat geval zullen `arg z_1·z_2` en `arg z_1+arg z_2` verschillen. Neem je echter de hoofdwaarde van het argument, dan ontstaat dit probleem niet.

Opgave 7

Bekijk eerst in de Theorie de vermenigvuldigregel voor complexe getallen. In de applet zie je een voorbeeld van het vermenigvuldigen van $z_{1}$ en $z_{2}$ . Beide complexe getallen zijn in de poolvoorstelling gegeven.

Schrijf $z_{1}$ en $z_{2}$ in de poolvoorstelling op.

Schrijf nu ook $z_{1} \cdot z_{2}$ in de poolvoorstelling en controleer de vermenigvuldigregel.

Hoe zien beide complexe getallen er in de vorm $x + i y$ uit?

Bereken nu $z_{1} \cdot z_{2}$ met behulp van je antwoorden bij c.

Laat zien dat de antwoorden bij b en d met elkaar in overeenstemming zijn.

Oefen dit met de applet voor meerdere complexe getallen. In Voorbeeld vd-e22-ex2 zie je nog eens hoe dit rekentechnisch moet.

Opgave 8

In de Theorie vind je ook de stelling van De Moivre. Hij volgt uit de vermenigvuldigregel voor complexe getallen. Neem $z = 1,5 + 2 i$ .

Bereken $z^{2}$ .

Schrijf nu zowel $z$ als $z^{2}$ in de poolvoorstelling. Controleer dat $| z^{2} | = {| z |}^{2}$ en $arg (z^{2}) = 2 \cdot arg (z)$ .

Leg nu uit waarom de stelling van De Moivre voor $n = 2$ uit de vermenigvuldigregel voor complexe getallen volgt.

Doe het voorgaande ook met $z^{3}$ en leg uit waarom de stelling van De Moivre voor $n = 3$ uit de vermenigvuldigregel voor complexe getallen volgt.

Waarom geldt $arg (z^{n}) = n \cdot arg (z) + k \cdot 2 π$ ?

Waarom volgt hieruit de stelling van De Moivre voor gehele waarden van $n$ ?

verder | terug