Complexe getallen > Modulus en argumentTheorie
Elk complex getal kan worden geschreven in de vorm
`z=x+text(i)y=r(cos(φ)+text(i)sin(φ))` :
-
`r=|z|=sqrt(x^2+y^2)` de absolute waarde of de modulus van `z` ;
-
`φ` is de hoek die de vector die het complexe getal `z` voorstelt maakt met de positieve `x` -as, het argument van `z` , notatie: `text(arg)(z)` .
Laat je voor `φ` alleen waarden toe vanaf `text(-)π` tot en met `π` , dan heb je de hoofdwaarde van het argument, notatie `text(Arg)(z)` .
Het getal
`0`
is een beetje een uitzondering: dat getal heeft een absolute waarde van
`0`
, maar er hoort geen argument bij. Verder hebben alle andere complexe getallen zowel
een modulus (absolute waarde) als een argument.
De hiervoor beschreven voorstelling van een complex getal als
`z=r(cos(φ)+text(i)sin(φ))`
noem je de poolvoorstelling van
`z`
.
Het belang van deze begrippen wordt pas duidelijk als je de volgende twee stellingen bekijkt. Probeer ze eerst maar eens zelf te begrijpen!
Bekijk de appletTwee belangrijke stellingen:
|
De vermenigvuldigregel: Als je twee complexe getallen `z_1` en `z_2` vermenigvuldigt, dan geldt: `|z_1·z_2|=|z_1|·|z_2|` en `text(Arg)(z_1·z_2)=text(Arg)(z_1)+text(Arg)(z_2)` . |
|
De stelling van De Moivre: Voor elke waarde van `φ` en elk gehele getal `n` geldt: `(cos(φ)+text(i)sin(φ))^n=cos(nφ)+isin(nφ)` |
Beide stellingen worden in de opgaven nader bekeken. De eerste heeft betrekking
op de (meetkundige) structuur van het vermenigvuldigen van complexe getallen. De
tweede is waarschijnlijk het meest verrassend: als je een complex getal tot de macht
`n`
verheft, dan wordt het argument
`n`
keer zo groot.
Als je goed nadenkt begrijp je waarschijnlijk wel dat de tweede stelling een uitbreiding
van de eerste is...