Complexe getallen > Formule van EulerVoorbeeld 4
Bereken `z_1 = 3 + 4text(i)` en `z_2 = 1/((3 + 4text(i))^4)` .
Stel eerst vast dat `3+4text(i)≈5text(e)^(0,93text(i))` .
Dan is
`z_1 = 3+4text(i) = (3+4text(i))^(0,5) ~~ (5*text(e)^(0,93text(i)))^(0,5) = 5^(0,5)*text(e)^(0,5*0,93text(i))
= 5text(e)^(0,46text(i))`
.
En dus is
`z_1≈5(cos(0,46)+text(i)sin(0,46))=2+text(i)`
.
(Het is wel zaak om niet tussentijds af te ronden!)
Verder is
`z_2 = 1/((3+4text(i))^4) = (3+4text(i))^(text(-)4) ~~ (5text(e)^(0,93text(i)))^(text(-)4)
= 5^(text(-)4)*text(e)^(text(-)4*0,93text(i)) ~~ 5text(e)^(0,46text(i))`
.
En dus is
`z_2 ≈ 1/625(cos(text(-)3,72)+text(i)sin(text(-)3,72)) ≈ text(-)0,001+8,602text(i)`
.
(Op drie decimalen nauwkeurig.)
In
Loop zelf de berekeningen in het voorbeeld na.
De stelling van De Moivre is met behulp van de formule van Euler uit te breiden tot willekeurige reële waarden van . Licht dit toe.