Complexe getallen

Complexe getallen > Vergelijkingen

Overzicht

123456Vergelijkingen

Verwerken

Opgave 6

Los de volgende vergelijkingen exact op in $ℂ$ .

$z^{3} = i$

$z^{4} = - 16$

$z^{2} = - i$

$z^{3} = - 27 i$

$z^{4} = -8 + 8 i \sqrt{3}$

$i z^{2} = 0,5$

Opgave 7

Los de volgende vergelijkingen op in $ℂ$ . Geef waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

${(z - i)}^{4} = 1$

$3 z^{2} + z + 3 = 0$

$z^{2} = 8 + 6 i$

${z + 1 - 2 i}^{3} = -2 \sqrt{3} + 2 i$

$2 z^{2} + 4 i z = 1$

$z^{8} + 15 z^{4} - 16 = 0$

Opgave 8

Los de volgende vergelijkingen exact op in $ℂ$ .

$3 z + 2 i = 4 i z$

${(z - 1)}^{2} = 2 i$

$z^{6} = -27$

$(z + 4 i) (z - 4 i) = 16$

Opgave 9

Los op $z^{2} = i^{i}$ .

Opgave 10De formule van Cardano

De formule van Cardano

De formule van Cardano is vergelijkbaar met de abc-formule, maar dan voor een vergelijking als `x^3 + px = q` . De oplossing uit de tijd van Girolamo Cardano (1501 - 1576) was meetkundig, hier zie je hem in beeld. Hij verdeelt `px` in drie balken en bouwt zo door een kubusje met inhoud `v` toe te voegen een kubus met inhoud `t` . Nu is `t – v = q` . Verder is `root[3](t)−root[3](v)=x` . En ook is `root[3](t) * root[3](v) * x = px` de inhoud van één balkje, dus `t · v = p^3` .
Uit `t – v = q` en `t · v = p^3` kun je afleiden dat `t = 1/2 q + sqrt(1/4 q^2 + 1/27 p^3)` en `v = text(-)1/2q + sqrt(1/4 q^2 + 1/27 p^3)` .
Hieruit vind je `x = root[3](1/2 q + sqrt(1/4q^2+1/27p^3)) - root[3](text(-)1/2 q + sqrt(1/4q^2 + 1/27p^3))` .
Dit is de formule van Cardano, hoewel hij voor het eerst door Scipio del Ferro is ontdekt. Je vindt er één oplossing van de gegeven vergelijking mee.

Schrijf zelf deze afleiding volledig uit.

Bepaal hiermee een reële oplossing van de vergelijking $x^{3} + 6 x = 20$ .

Hoe kun je nu de twee complexe oplossingen vinden? Bepaal ze.

Bereken nu alle oplossingen van $x^{3} + 5 x^{2} + 5 x + 4 = 0$ .

Los op in $ℂ$ : $3 x^{3} + 11 x^{2} + 32 x - 12 = 0$ .

verder | terug