Complexe getallen

Complexe getallen > Complexe functies

123456Complexe functies

Voorbeeld 1

Gegeven is de complexe functie `f(z)=(1+text(i))z+3+2text(i)`
Het domein bestaat uit alle waarden van `z` met `|z| le 2` en `text(-)0,5π le text(arg) (z) le 0,5pi` .
Teken het domein en het bereik van `f` in één figuur.

> antwoord

Bekijk de applet

Het domein is het binnengebied en de rand van een halve cirkel met straal `2` en middelpunt `O` .
Het getal `z` kan nu gemakkelijk worden voorgesteld door `z=r text(e)^(text(i)φ)` . Ga na dat elke `z` die voldoet aan de voorwaarden binnen het rode gebied blijft.

De functie is een lineaire complexe functie.
De vermenigvuldiging met `1+text(i)` zorgt voor een draaivermenigvuldiging om `O` met factor `|1+text(i)|=2` en draaihoek `text(arg)(1+text(i))=0,25π` .
Het optellen van `3+2text(i)` zorgt voor een verschuiving over vector $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ .
Ga na, dat `z_(f)=f(z)` steeds binnen het (blauwe) bereik blijft.

Opgave 4

In Voorbeeld 1 zie je hoe bij de functie $f$ met $f (z) = (1 + i) z + 3 + 2 i$ en een gegeven domein het bereik wordt bepaald.

Neem nu als domein $D_{f} = [0, 2] \times [-1, 3]$ . Welke draaivermenigvuldiging en welke verschuiving moet je toepassen om het bereik te krijgen? Teken $B_{f}$ .

Bereken $f (- i), f (2 - i), f (2 + 3 i)$ en $f (3 i)$ . Laat zien dat deze functiewaarden inderdaad de hoekpunten van $B_{f}$ zijn.

verder | terug