Complexe getallen

Complexe getallen > Complexe functies

123456Complexe functies

Voorbeeld 2

Gegeven is de complexe functie `f(z)=z^2` .
Het domein bestaat uit alle waarden van `z` met `|z| le 2` en `text(-)0,25π le text(arg)(z) le 0,25pi` .
Teken het domein en het bereik van `f` in één figuur.
Hoe zijn het reële deel en het imaginaire deel van `f(z)` uit die van `z` af te leiden?

> antwoord

Bekijk de applet

Het domein is het binnengebied en de rand van een kwart cirkel met straal `2` en middelpunt `O` . Het getal `z` stel je voor door `z=r text(e)^(text(i)φ)` . Ga na dat elke `z` die voldoet aan de voorwaarden binnen het rode gebied blijft.
Omdat `z=r text(e)^(text(i)φ)` geldt: `z^2=r^2 text(e)^(2text(i)φ)` .
Dus `|f(z)|=|z|^2` en `text(arg)(f(z))=2·text(arg)(z)` .
Dit geldt ook voor de punten op de rand van het domein. En daarom wordt het bereik een halve cirkel (alle argumenten verdubbelen) met als straal het kwadraat van de straal van het domein. Ga na, dat `z_f=f(z)` steeds binnen het (blauwe) bereik blijft.

Als `z=a+btext(i)` , dan is
`z^2=(a+btext(i))^2=a^2-b^2+2abtext(i)` .

Opgave 5

Gegeven is de lineaire complexe functie $g$ met $g (z) = 2 i z + 3 - i$ . Neem als domein alle complexe getallen waarvoor $| z | \leq 3$ en $0 \leq arg (z) \leq 0, 5 π$ .

Bereken $g (0), g (3)$ en $g (3 i)$ .

Teken het bijbehorende bereik.

Met welke draaivermenigvuldiging en welke verschuiving kan het bereik ontstaan uit het gegeven domein?

verder | terug