Gegeven is de complexe functie
`f(z)=1/z`
.
Het domein bestaat uit alle waarden van
`z`
met
`|z| le 2`
en
`0 le text(arg)(z) le 0,5pi`
.
Teken het domein en het bereik van
`f`
in één figuur.
Welke waarden van
`z`
blijven even ver van de oorsprong afliggen?
Het domein is het binnengebied en de rand van een kwart cirkel met straal
`2`
en middelpunt
`O`
.
Het getal
`z`
stel je voor door
`z=re^(text(i)φ)`
.
Ga na dat elke
`z`
die voldoet aan de voorwaarden binnen het rode gebied blijft.
Omdat
`z=rtext(e)^(text(i)φ)`
geldt:
`1/z=1/r text(e)^(text(-i)φ)`
.
Dus
`|f(z)|=1/(|z|)`
en
`text(arg)(f(z))=text(-)text(arg)(z)`
.
Dit geldt ook voor de punten op de rand van het domein.
En daarom wordt het bereik het buitengebied van een kwartcirkel met straal en begrensd door de positieve
`x`
-as en de negatieve
`y`
-as.
Ga na, dat
`z_(f)=f(z)`
steeds binnen het (blauw begrensde) bereik blijft.
De `z` -waarden met `|z|=1` houden dezelfde afstand tot `O` .
In
Welke drie complexe getallen vormen de "hoekpunten" van het gegeven domein?
Laat door berekening zien dat de functiewaarden bij die drie complexe getallen de "hoekpunten" van het bereik vormen.
Neem nu als domein alle complexe getallen met . Beschrijf het bijbehorende bereik.
In
Bereken en .
Welke moeilijkheid doet zich voor bij het berekenen van ?
Beschrijf het bereik op dezelfde manier als het gegeven domein.
Neem nu als domein alle complexe getallen met . Schets het bijbehorende bereik.