Teken de kromme die wordt beschreven door: $z=5{\text{e}}^{\text{i}\phi }$.

Doe hetzelfde als: $z=t{\text{e}}^{\text{i}\phi }$.

Hoe kun je met behulp van complexe getallen een cirkel beschrijven?

Hoe kun je een ellips beschrijven?

Het is ook mogelijk om ingewikkelder krommen te beschrijven. Hier zie je daarvan een voorbeeld. Gegeven is in het complexe vlak de verzameling van alle punten z die beschreven wordt door: $z=\frac{2t}{1+t}\cdot {\text{e}}^{\pi \text{i}t}$, met $t\ge 0$. Teken de kromme die deze verzameling in het complexe vlak vormt.

Het is niet beslist nodig om de notatie van Euler te gebruiken. Ook in de schrijfwijze $z=x+\text{i}y$ kunnen zowel $x$ als $y$ een functie van $t$ zijn. Zoek een paar "mooie" krommen en beschrijf die met behulp van complexe getallen. Probeer telkens ook te bepalen hoe $r=\left|z\right|$ en $\phi =\text{arg}\left(z\right)$ van $t$ afhangen. Teken ook de uitgezochte krommen!

Laat zien, dat ${\text{e}}^{1+\pi \text{i}}=\mathrm{-}\text{e}$ en dat ${\text{e}}^{1+\mathrm{0,5}\pi \text{i}}=\text{ei}$.

Neem $z=x+\text{i}y$ en laat zien dat: $\left|f\left(z\right)\right|={\text{e}}^x$ en $\text{arg}\left(f\left(z\right)\right)=y$.

Waarom is $f$ een periodieke functie? Geef twee voorbeelden van complexe getallen die dezelfde functiewaarde hebben.

Neem als domein ${\text{D}}_{f=}[-2,2]\times [-4,4]$ en teken het bijpassende bereik.

Wat is het kleinste domein dat hetzelfde bereik heeft?

Bekijk nu de complexe functie $g$ met $g\left(z\right)=ln\left(z\right)$. Nu kun je complexe getallen het beste schrijven in de vorm $z=r{\text{e}}^{\text{i}\phi }$? Laat zien dat $ln\left(\text{i}\right)=\mathrm{0,5}\pi$ en dat $ln\left(-1\right)=\pi$.

Bereken nu exact: $g(1+\text{i}),g\left(3\text{i}\right)$ en $g(2-2\text{i})$.

Neem als domein alle reële getallen met . Bepaal het bijbehorende bereik.

Leid voor $\alpha \left(t\right)$ de volgende differentiaalvergelijking af: `α''(t) = text(-)g/l * alpha(t)` .

Laat zien, dat aan een dergelijke differentiaalvergelijking een functie van de vorm $\alpha \left(t\right)=r{\text{e}}^{\text{i}ct}$ voldoet. $r$ en $c$ zijn hierin nog te bepalen constanten.Bepaal deze constanten, dat wil zeggen druk ze uit in $g$ en $l$.

Herschrijf de functie die je nu krijgt naar de vorm: $\alpha \left(t\right)=r(cos\left(\phi \right)+\text{i}sin\left(\phi \right))$. Laat zien, dat het reële deel van de gevonden functie $\alpha \left(t\right)$ een zuivere sinusoïde oplevert.

Neem $l=1$ m en zoek de juiste waarde van $g$ op. Neem aan dat $\alpha \left(0\right)=\mathrm{0,1}$ rad. Stel nu een functievoorschrift op voor de $a$ afhankelijk van $t$.

Natuurlijk moet je eigenlijk rekening houden met de luchtweerstand en de wrijving die daardoor ontstaat. Die wrijving is recht evenredig met $l\cdot \alpha ’\left(t\right)$. Laat zien, dat nu geldt: `ml alpha''(t) + kl alpha'(t) = text(-)mg alpha(t)` een positieve constante, de wrijvingscoëfficiënt, is.

Deze differentiaalvergelijking is nog niet eenvoudig op te lossen. Probeer een functie als $\alpha \left(t\right)={\text{e}}^{zt}$, waarin $z$ een willekeurig complex getal is.

Laat zien dat de differentiaalvergelijking dan overgaat in $ml{z}^2+klz=\mathrm{-}mg$.

Neem $l=1$ m, $m=500$ g en $k=\mathrm{0,10}$. Bepaal nu de oplossingen $\alpha \left(t\right)$ van de differentiaalvergelijking. Is de grafiek van het reële deel van $\alpha \left(t\right)$ nu ook een zuivere sinusoïde?

Heeft de differentiaalvergelijking voor alle waarden van $m,l$ en $k$ zinvolle oplossingen? Verklaar je antwoord.

Maak zelf de fractal van Levy. Het vreemde van fractalen is dat er een (in principe) oneindig lange gebroken lijn ontstaat op een eindig oppervlak. Fractalen zijn met de computer te tekenen en met complexe getallen vaak te beschrijven met behulp van eenvoudige lineaire complexe functies.

Gegeven is de complexe functie $f\left(z\right)=(1+\text{i})z$. Teken het beeld van $z_1=0,z_2=1$ en $z_3=2$ bij deze functie. Teken het beeld van het lijnstuk met eindpunten $z_1=0$ en $z_4=4$.

Met welke factor wordt de lengte van het lijnstuk vermenigvuldigd?Over welke hoek wordt het gedraaid?

Beantwoord dezelfde vragen voor de complexe functie $g\left(z\right)=(1+\text{i})z+(1-\text{i})$.

Fractalen kunnen nu ontstaan door complexe functies na elkaar te blijven uitvoeren. Bijvoorbeeld kan de Levy-fractal beschreven worden met behulp van een stelsel complexe functies. Begin met de complexe getallen $z$ gelegen op het lijnstukje met eindpunten $z_1=0$ en $z_2=4$. Pas op elke $z$ deze twee functies toe: $L:L\left(z\right)=0,5(1+\text{i})z;R:R\left(z\right)=0,5(1-\text{i})z+2(1+\text{i})$. Teken de beide beeldlijnstukken. Pas op elk der beeldlijnstukken opnieuw beide functies toe. Je krijgt dan vier beeldlijnstukjes, waarop je opnieuw beide functies loslaat. Enzovoort.

Een andere bekende fractal is de $H$-fractal. Daarbij zet je telkens aan de eindpunten van een lijnstuk twee lijnstukjes die er loodrecht op staan en er de helft van zijn. Teken eens een $H$-fractal (weer $12$ stappen) en probeer hem door een stelsel complexe functies te beschrijven.
Echte liefhebbers van programmeren hebben natuurlijk aan een eenvoudig functievoorschrift genoeg om het ontstaan van de twee fractalen hierboven met de computer in beeld brengen! Daarbij kun je gebruik maken van het feit dat complexe getallen kunnen worden voorgesteld door vectoren $(x,y)$. Er bestaan veel websites waarop fractalen zichtbaar worden gemaakt. Misschien raak je er door geïnspireerd om ze zelf te programmeren. Bekijk ze maar eens...