In de Uitleg 1 wordt dit probleem besproken.
De lengte is `2400/30 = 80` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 20 + 10)(80 + 10 + 10) = 6000` m2.
De breedte is dan `2400/80 = 30` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 10 + 10)(80 + 20 + 10) = 50 * 110 = 5500` m2. En dat is kleiner.
De andere afmeting is dan `2400/x` m en de oppervlakte wordt: `A(x) = (x + 10 + 10)(2400/x + 10 + 20) = (x + 20)(2400/x + 30)` m2
`A(x) = (x + 20)(2400/x + 30) = 3000 + 30x + 48000/x`
`A'(x) = 30 - (48000)/(x^2) = 0`
geeft
`48000/(x^2) = 30`
, dus
`x^2 = 1600`
.
Je vindt een minimum van
`5400`
m2 bij
`x = 40`
m.
Dan is de voorkant van de fabriekshal
`x - 20`
en de breedte ervan dus:
`2400/(x - 20)`
De oppervlakte van het terrein is dan:
`A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)`
.
`A(x) = x(2400/(x - 20) + 30) = (2400x)/(x-20) + 30x`
Je kunt nu het minimum berekenen met behulp van differentiëren. Dan moet je goed de quotiëntregel van differentiëren beheersen:
`A'(x) = (text(-)48000)/((x-20)^2) + 30`
.
`A'(x)=0`
geeft
`48000/((x-20)^2)=30`
zodat
`(x-20)^2 = 1600`
.
Hieruit vind je
`x=60`
.
Met GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine vind je een minimum van `5400` m2 bij `x = 60` m.
Het blik is zuiver cilindervormig, het materiaal is overal even dik en eventuele opstaande randjes worden verwaarloosd. De hoeveelheid materiaal wordt dus alleen bepaald door de oppervlakte ervan.
De onder- en de bovenkant van het blik zijn cirkels met straal `r` en de mantel is een rechthoek met een hoogte van `h` cm en een breedte die gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel.
Met
`I=1000`
vind je
`1000 =πr^2 h`
en dus:
`h=1000/ (πr^2)`
Als je nu in de formule voor
`A`
deze uitdrukking invult voor
`h`
, dan vind je:
`A(r)=2000/r+2 πr^2`
`A(r)=2000/r+2pir^2`
geeft
`A'(r) = (text(-)2000)/(r^2) + 4pi r`
.
`A'(r) = 0`
geeft
`(2000)/(r^2) = 4pi r`
en
`r^3 = 2000/(4pi)`
zodat
`r~~5,4`
.
Grafiek: minimum op
`r~~5,4`
.
Vervolgens gebruik je
`h=1000/(pir^2)`
om
`h~~10,8`
te vinden.
Het pakje met de kleinste oppervlakte heeft `x ~~ 5,8` cm en `h ~~ 5,9` cm.
Bijvoorbeeld `W(x) = (90 - 4x)(1000 + 100x) - 60(1000 + 100x) = text(-)400x^2 - 1000x + 30000` , met `W` in eurocent.
`W'(x) = text(-)800x - 1000 = 0` als `x = text(-)1,25` .
De winst is maximaal als `x = text(-)1,25` . En dat betekent dat hij de prijs eigenlijk met `5` eurocent zou moeten verhogen om maximale winst te krijgen. Dus nee, beter niet.
Stel dat `x` het aantal pakken yoghurt is dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:
`W(x)=(90-0,04(x-1000))x-60x = text(-)0,04x^2 + 70x`
`W'(x) = text(-)0,08x + 70 = 0` als `x=875` .
Je vindt nu dat er een maximum is bij `x=875` . Dus een afname van `125` pakken. Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5` eurocent moet verhogen voor maximale winst.
Stel `x` is het aantal extra pakken yoghurt dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:
`W(x)=(90-0,04x)(1000+x)-60(1000+x) = text(-)0,04x^2 - 10x + 29960`
`W'(x) = text(-)0,08x - 10 = 0` als `x=text(-)125` .
Je vindt nu dat er een maximum is bij `x=text(-)125` . Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5` eurocent moet verhogen voor maximale winst.
€ 6412,50
`TO(p)=(600 -6 p)(10 +0,25 p)=6000 +90 p-1,5 p^2`
`TO'(p) = 90 - 3p = 0`
geeft
`p=30`
.
Grafiek of tekenschema afgeleide:
`TO`
is maximaal als
`p=30`
.
De lengte en breedte zijn dan `20-2x` en de hoogte `x` .
Dus: `I=x (20 -2 x) ^2` .
`I(x) = x (20 -2 x) ^2 = 400x - 80x^2 + 4x^3`
`I'(x) = 400 - 160x + 12x^2 = 0` als `x = (40+-sqrt(400))/6` , zodat `x=60/6 vv x=20/6` .
Je vindt dat het maximum `593` cm3 is bij `x=20/6~~3,33` .
Sportveld: Noem de lengte
`l`
en breedte
`2 r`
(in
`l`
en
`r`
in meters) waarin
`r`
de straal van de twee halve cirkels is.
Nu geldt:
`2 l+2 πr=400`
, dus
`l=200 -πr`
.
De oppervlakte van het sportveld is:
`A=l*2 r=(200 -πr)*2 r=400 r-2 πr^2`
.
`A'(r) = 400 - 4pir = 0`
geeft
`r=100/(pi)`
.
Maximum zit bij
`r=100/π~~31,8`
.
Het sportveld is ongeveer
`100`
bij
`64`
m.
`q = 12 - 0,1p`
`0,1p = 12 - q`
`p = 120 - 10q`
Uit deze formule kunnen we afleiden dat de prijs
`0`
is wanneer er
`12000`
autopeds worden verkocht. Dit
betekend dat:
`0 le q le 12`
.
`p=120-10q`
Invullen geeft:
`TO=pq=120 q-10 q^2`
`TW=TO-TK`
`TW=text(-)1,5 q^3+12,5 q^2`
`TW'= text(-)4,5q^2 + 25q = 0` geeft `q=0 vv q=50/9=5,5555...`
Maximum bij `q=5,5555...` Er is maximale winst als `q=5556` . De prijs van een autoped is dan € 64,44.
`GTK=1 ,5 q^2-22 ,5 q+120` met een minimum bij een afzet van `7500` stuks.
De lengte van het linker voetpad is `sqrt(x^2+40^2)=sqrt(x^2+1600)` en de lengte van het rechter voetpad is `sqrt((80-x)^2+60^2)=sqrt(x^2-160x+10000)` .
Los op: `sqrt(x^2 + 1600) = sqrt(x^2 - 160x + 10000)` . Dit geeft `x = 52,5` .
Nu moet `L(x) = sqrt(x^2 + 1600) + sqrt(x^2 - 160x + 10000)` minimaal zijn. Dit levert (met GeoGebra, Desmos, de GR, of differentiëren) op: `x = 32` m en `L~~128` .
Dus de totale lengte is dan ongeveer `128` m.
Neem voor het grondvlak van de rechthoekige ruimte een vierkant met zijde
`x`
. Met behulp van gelijkvormigheid kun je dan afleiden dat de hoogte ervan gelijk is aan
`h=6 -1/2x`
. De inhoud ervan is dan
`I=x^2(6 -1/2x)=6 x^2-1/2x^3`
.
`I'(x) = 12x - 1,5x^2 = 0`
geeft
`x=0 vv x=8`
.
Met de grafiek vind je een maximale inhoud als
`x=8`
en dus
`h=2`
. De afmetingen zijn dus
`8 \times 8 \times 2`
m.
Noem een kampeerplaats
`x`
bij
`x`
meter. Voor elke plaats is dan
`x^2+20`
m2 nodig. Omdat je over
`1`
ha beschikt, kun je
`10000/ (x^2+20)`
plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt:
`2 ,50 x+4 ,50`
.
De totale opbrengst per nacht wordt:
`TO(x)=10000/ (x^2+20) *(2,50 x+4,50 )= (25000 x+45000) / (x^2+20)`
.
Maximum (GeoGebra, Desmos, of GR, of differentiëren) bepalen geeft
`x≈3,02`
.
Een kampeerplaats wordt ongeveer
`3`
m breed.
`C'(t)=(16*(190t^2+60)-16t*380t)/(190t^2+60)^2=(960-3040t^2)/(190t^2+60)^2`
`C'(t)=0` geeft `t=sqrt(6/19)≈0,562` uur. De concentratie werkzame stof is maximaal na circa 34 minuten.
Tot en met eind 1895 waren er `P(1895) ~~ 185` soorten bekend.
Tot en met eind 1995 waren er `P(1895) ~~ 219` soorten bekend.
Volgens het model van Paxton zouden er `219-185 = 34` soorten moeten zijn ontdekt.
`P'(t) = (264(t-1767) - (264t - 476657))/((t - 1767)^2) = (10169)/((t - 1767)^2) gt 0` voor elke `t != 1767` .
Maak tabellen met behulp van Desmos, GeoGebra of een GR.
Het antwoord: 1941, 1942, 1944 en 1945.
`G(2009) = 215` (dus volgens Groot zijn er `215` soorten bekend tot en met 2009).
Als `t` heel groot wordt, wordt `0,9799^(t-1798) ~~ 0` en dus `G ~~ 218*1 = 218` .
Dus er zullen volgens het model van Groot nog drie soorten ontdekt worden.
Doen.
De poster moet ongeveer `8,2` bij `12,2` dm worden.
De diepte is dan ongeveer `18,3` dm en de hoogte ongeveer `9,1` dm.