Goniometrie > Goniometrische verhoudingenUitleg
Je ziet een rechthoekige driehoek `APB` . De hoogtelijn `PQ` stelt de afstand van punt `P` tot lijnstuk `AB` voor.
Deze afstand
`PQ`
kun je berekenen met behulp van gelijkvormigheid: twee driehoeken zijn gelijkvormig als hun hoeken gelijk zijn. Dat is het geval bij de driehoeken
`APB`
en
`PQB`
. Je noteert
`Delta APB ∼ Delta PQB`
met de overeenkomstige hoekpunten op dezelfde plaats.
Je weet dan dat de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk zijn:
| `AP = 10` | `PB = 5` | `AB` |
| `PQ` | `QB` | `PB = 5` |
Je ziet nu dat je van
`Delta APB`
nog de lengte van
`AB`
moet berekenen.
Daarvoor gebruik je de stelling van Pythagoras in
`Delta APB`
:
`AP^2 + PB^2 = AB^2`
geeft
`10^2 + 5^2 = 125 = AB^2`
, zodat
`AB = sqrt(125) ~~ 11,180`
.
Deze waarde van
`AB`
kun je in de tabel invullen. Er geldt:
`(PQ)/(AP) = (PB)/(AB)`
, dus
`(PQ)/10 ~~ (5)/(11,180) ~~ 0,447`
.
Dit levert op
`PQ ~~ 4,47`
m.
Bekijk Uitleg 1.
Er wordt gesteld dat
`Delta APB ∼ Delta PQB`
omdat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.
Welke hoeken zijn dat?
Driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.
Geldt dat ook voor andere figuren?
Je kunt deze berekening ook uitvoeren met de driehoeken `APB` en `APQ` .
Laat zien, dat je dan op dezelfde waarde van `PQ` uitkomt.
Je ziet hier hoe iemand een ladder tegen een `5,5` m hoge muur plaatst over een schuurtje heen waarvan de hoogte `3` m en de diepte tot de muur `2` m is.
Hoe ver van de muur moet die ladder minimaal op de grond worden geplaatst?
Hoe lang moet de ladder minimaal zijn?