Goniometrische functies > Goniometrische functies
12345Goniometrische functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Bewering B:
Amplitude `=(max. waarde-min. waarde)/2=(10-text(-)30)/2=20` .
Periode kun je aflezen, bijv. door van top tot top te kijken.
Evenwichtsstand is de middelste waarde tussen het maximum en het minimum.

Opgave 1
a

Dan kun je het venster (bijvoorbeeld `[0, 4pi] xx [text(-)2, 4]` ) goed instellen. Denk om radialen!

b

De functie is te schrijven als `y_3 = 1 + 2 sin(0,5 (x - 2))` . Je hebt dus een horizontale verschuiving van een `2` naar rechts.

c

De functie is maximaal als `0,5 x - 1 = 1/2 pi + k*2pi` . Dan vind je `x = pi+2 ~~ 5,14` en een maximum van `3` .

De functie is minimaal als `0,5 x - 1 = 1 1/2 pi + k*2pi` . Dan vind je `x = 3pi+2 ~~ 11,42` en een minimum van `text(-)1` .

d

`y_3 = 1 +2 sin(0,5 x-1 ) = 2` geeft `sin(0,5 x-1 )=0,5` .
En dus `0,5 x-1 = 1/6pi + k*2pi vv 0,5 x-1 = 5/6pi + k*2pi` zodat `x = 1/3pi + 2 + k*4pi vv x = 5/3pi + 2 + k*4pi` .
Dat is `x ~~ 3,05 vv x ~~ 7,24` .
Met de grafiek vind je `3,05 le x lt 7,24` .

Opgave 2
a

Wel een sinusoïde.

b

Wel een sinusoïde.

c

Geen sinusoïde.

d

Wel een sinusoïde.

e

Geen sinusoïde.

Opgave 3
a

Assen bijvoorbeeld `[0, 2pi] xx [text(-)4, 4]` . Denk om radialen!

b

Je kunt de tangens schrijven als `tan(x) = (sin(x))/(cos(x))` . De asymptoten liggen bij de nulpunten van de noemer, dus als `cos(x) = 0` . Dat is als `x = 1/2 pi + k * pi` . En dit zijn dan ook de asymptoten.

c

`tan(x) = 1` geeft `x = arctan(1) + k*pi ~~ 0,785 + k*pi` .

Je kunt ook zeggen dat dit geldt als `sin(x) = cos(x)` . Dit is voor `x = 1/4 pi + k * pi` .

Opgave 4
a

Gebruik `tan(x) = (sin(x))/(cos(x))` en de exacte waarden van sin en cos.

`tan(0) = 0` , `tan(1/6 pi) = 1/(sqrt(3))` , `tan(1/4 pi) = 1` en `tan(1/3 pi) = sqrt(3)` .

b

`x = 1/3 pi + k*pi`

Opgave 5

`tan(x) = sqrt(3)` geeft `x = 1/3 pi + k * pi` . Dus de oplossing wordt `1/3 pi ≤ x < 1/2 pi vv 1 1/3 pi ≤ x < 1 1/2 pi` .

Opgave 6
a

Periode `= 20` , amplitude `= 10` , evenwichtslijn `y = 15` en horizontale verschuiving: `5` naar rechts.

b

Gebruik GeoGebra, Desmos, of een GR. Assen bijvoorbeeld `[0, 50] xx [5, 25]` .

c

`x ~~ 4,03 vv x ~~ 15,97 vv x ~~ 24,03 vv x ~~ 35,97 vv x ~~ 44,03` .

Opgave 7
a

Gebruik GeoGebra, Desmos, of een GR.
Twee opeenvolgende maxima zitten bij bijvoorbeeld `(0, 1)` en `(pi, 1)` .

b

De periode lijkt `π` te zijn.

c

Bijvoorbeeld `y = sin(2(x - 3/4 pi))` .

d

De gegeven formule heeft niet de vorm van een sinusoïde en op de grafiek alleen mag je niet afgaan.

Opgave 8
a

Assen bijvoorbeeld `[0, 2pi] xx [text(-)1, 1]` .

b

Ja, bijvoorbeeld `y = sin(2x)` .

c

`x ~~ 0,26 vv x ~~ 1,31 vv x ~~ 3,40 vv x ~~ 4,45` .

d

`x = 1/12 pi vv x = 5/12 pi vv x = 1 1/12 pi vv x = 1 5/12 pi` .

Opgave 9
a

Er is geen evenwichtsstand.

b

Nee.

c

De snijpunten met de `x` -as zijn `(0 + k * 1/2 pi, 0)` en die verschijnen dus periodiek.

Opgave 10
a

Assen bijvoorbeeld `[0, 10] xx [text(-)2, 2]` . De grafiek lijkt inderdaad een sinusoïde, maar alleen als de functie te schrijven is in de juiste vorm mag je concluderen dat het een sinusoïde is.

b

Met de rekenmachine kun je de waarden die je wilt weten bepalen. Het maximum is ongeveer `1,41` en dit ligt bij `x ~~ 0,79` . De volgende top ligt `2pi` verder. Het minimum is ongeveer `text(-)1,41` , dus de evenwichtsstand is de horizontale as en de amplitude is `1,41` . De verschuiving naar links is `0,77` .

c

De formule wordt dan: `f(x) ~~ 1,41 sin(x + 0,79)` .

d

Nulpunten: `f(x) = 0` geeft `x ~~ text(-)0,79 + k * pi` , dus `(text(-)0,79 + k * pi; 0)` .
Toppen: `f(x) = +-1` geeft de toppen `(0,79 + k * 2pi; 1)` en `(3,93 + k * 2pi; text(-)1)` .

e

`f(x) = 1` geeft `x ~~ 0,00 + k * 2pi vv x ~~ 1,57 + k * 2pi` .
De ongelijkheid heeft als oplossing `0,00 + k * 2pi < x ≤ 1,57 + k * 2pi` .

Opgave 11
a

De periode is `2pi` .

b

Nee, dit is geen sinusoïde.

c

Nulpunten `(1,05; 0)` , `(3,14; 0)` en `(5,24; 0)` .
Toppen: `(0, 2)` , `(1,82; text(-)1,25)` , `(3,14; 0)` , `(4,46; text(-)1,25)` en `(2pi, 2)` .

Opgave 12
a

Periode is `pi` , amplitude is `0,5` , de evenwichtsstand is `y = 0,5` en de horizontale verschuiving is `0,5pi` .

b

Met de vorige gegevens vind je: `f(x) = 0,5 cos(2(x - 0,5pi)) + 0,5` .

c

`sin^2(x) = 1` geeft `sin(x) = +-1` en dus `x = 0,5pi + k * pi` .

d

Ga na, dat je hetzelfde vindt.

Opgave 13
a

Je kunt de grafiek tekenen met je rekenmachine met venster `[0, 2pi] xx [text(-)2, 2]` .
De grafiek lijkt een sinusoïde met periode `2pi` , amplitude ongeveer `1,93` , horizontale verschuiving ongeveer `0,26` en evenwichtsstand `y = 0` .

b

De formule wordt dan: `f(x) ~~ 1,93 sin(x - 0,26)` .

c

`1,93 sin(x - 0,26) = 0,5` geeft `x ~~ 0,52 vv x ~~ 3,14 vv x ~~ 6,81 vv x ~~ 9,42` .
De oplossing van de ongelijkheid wordt `0 ≤ x ≤ 0,52 vv 3,15 ≤ x ≤ 6,80 vv 9,43 ≤ x ≤ 4pi` .

Opgave A1Bezonning
Bezonning
a

Op 30 januari geldt: `n = 30` en dan geldt: `B~~8,814` .
De bezonning is dan `8` uur en ( `0,814*60=` ) `49` minuten.
Het antwoord is 8:27 + 8:49 en dat is 17:16 uur.

b

Op 13 april geldt: `n = 103` en `B(103) > 14,07` en `B(102) < 13,9994` .

c

Het maximum van `B` is volgens de formule `12,3 + 4,6` .
Het minimum van `B` is volgens de formule `12,3 – 4,6` .
Het verschil in bezonning is daarmee `9,2` uur en dat is `9` uur en ( `0,2*60=` ) `12` minuten.

Opgave A2Golvend dak
Golvend dak
a

`3*sin(0,1*x)` is maximaal `3` en minimaal `text(-)3` .
`h` is maximaal `3+7=10` meter.
`h` is minimaal `text(-)3+7=4` meter.

b

Los op: `3*sin(0,1*x)+7=8` .
Dit geeft `sin(0,1x) = 1/3` en `0,1x ~~ 0,34 + k*2pi vv 0,1x ~~ 2,80 + k*2pi` .
Dus de snijpunten zitten bij `x ~~ 3,4 + k*20pi` en `x~~28,0+k*20pi` .
Dit geeft: `x~~3,4` en `x~~90,8` .
De lengte is ongeveer `90,8 - 3,4 ~~ 87` meter.

c

De helling is (vanwege symmetrie) het grootst "halverwege" de minimale en de maximale hoogte, dus bij hoogte `7` m.
`3*sin(0,1*x)+7=7` geeft `sin(0,1x)=0` en `x = k*10pi` .
De maximale helling zit bij `x~~62,8` .
De voorgevel van het gebouw begint bij `x~~3,4` meter.
De maximale helling bevindt zich op ongeveer `62,8-3,4~~59` meter van de voorgevel.

Opgave T1
a

Gebruik GeoGebra, Desmos, of een GR en lees periode, amplitude, evenwichtsstand en horizontale verschuiving af.
Je vindt `f(x) ~~ 1,41 sin(x - 3,93)` .

b

Nulpunten als `x - 3,93 = k * pi` . De nulpunten zijn dus `(3,93 + k*pi; 0)` .

c

De extremen van `f` liggen op `y ~~ +-1,41` . De bijbehorende `x` -waarden zitten midden tussen de `x` -waarden van de nulpunten. Je krijgt dus maxima van `1,41` als `x ~~ 5,50 + k*2pi` en minima van `text(-)1,41` als `x ~~ 2,36 + k*2pi` .

d

`y = 1` geeft `sin(x - 3,93) ~~ 0,71` en dus `x ~~ 0,00 + k*2pi vv x ~~ 4,71 + k*2pi` .
De oplossing van de ongelijkheid is: `4,72 + k*2pi ≤ x ≤ 6,28 + k*2pi` .

Opgave T2

Maak de grafiek met GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine.
Lees af:

  • de amplitude is `0,5` , dus `a=0,5` ;

  • de periode is `pi` , dus `b=(2pi)/(pi)=2` ;

  • de grafiek heeft een top voor `x=0` , dus `c=0` ;

  • de evenwichtsstand is `y=0,5` , dus `d=0,5` .

De gevraagde formule is `y = 0,5 cos(2x) + 0,5` .

verder | terug