Ongeveer `3568*sqrt(25) = 17840` m en dat is ongeveer `17,8` km.
Je moet oplossen:
`3568*sqrt(h) = 20000`
.
Eerst delen:
`sqrt(h) = 20000//3568 = 5,605...`
Kwadrateren:
`h ~~ 31,4`
m.
`3568*sqrt(h) = 10000` geeft `sqrt(h) = 2,802...` en dus `h ~~ 7,86` m.
Nee, probeer maar een getallenvoorbeeld:
Als
`h = 1`
dan is
`a = 3568`
m.
Als
`h = 2`
dan is
`a = 3568*sqrt(2)`
, dus als
`h`
twee keer zo groot wordt, wordt
`a`
met
`sqrt(2)`
vermenigvuldigd.
Je kunt beginnen met beide zijden door
`3568`
te delen, dan heb je de vorm
`sqrt(h) = ...`
gemaakt en kun je daarna kwadrateren.
Je kunt hier ook meteen kwadrateren.
Bijvoorbeeld zo:
`3568*sqrt(h)` | `=` | `1000*h` |
beide zijden kwadrateren
|
`12730624*h` | `=` | `1000000*h^2` |
op
`0`
herleiden
|
`1000000h^2 - 12730624*h` | `=` | `0` |
ontbinden in factoren
|
`h(1000000h - 12730624)` | `=` | `0` |
oplossing opschrijven
|
`h=0` | `vv` | `h = 12,730624 ~~ 12,7` |
Dus bij ongeveer m kun je `1000` keer je ooghoogte ver kijken.
`4 + sqrt(2x) = 18` geeft `sqrt(2x) = 14` en `2x = 14^2 = 196` , dus `x = 196//2 = 98` .
`3*sqrt(15 + x^2) = 15` geeft `sqrt(15 + x^2) = 5` en `15 + x^2 = 25` , dus `x^2 = 10` en `x = +-sqrt(10)` .
`25/(sqrt(1 + x^2)) = 5` geeft `sqrt(1 + x^2) = 25//5 = 5` en `1 + x^2 = 25` , dus `x^2 = 24` en `x = +-sqrt(24)` .
Omdat je bij direct kwadrateren aan de linkerzijde van het isgelijkteken `(4 + 2*sqrt(x))^2` krijgt en bij het wegwerken van de haakjes krijg je dan een drieterm die de vergelijking alleen maar ingewikkelder maakt.
`x=1`
substitueren:
`4 + 2*sqrt(1) = 2*1`
geeft
`6 = 2`
en dat klopt niet.
`x=4`
substitueren:
`4 + 2*sqrt(4) = 2*4`
geeft
`8 = 8`
en dat klopt wel.
Maak een tabel of gebruik GeoGebra of een GR.
De oplossing is de
`x`
-waarde van het snijpunt van beide grafieken.
`4 + sqrt(2x) = 1/3 x + 5 1/3`
geeft
`sqrt(2x) = 1/3 x + 1 1/3`
en
`2x = (1/3 x + 4/3)^2`
, dus
`x^2 - 10x + 16 = 0`
.
Door ontbinden vind je
`x = 2 vv x = 8`
. Beide voldoen.
`2 - sqrt(x) = x`
geeft
`sqrt(x) = 2 - x`
en
`x = (2 - x)^2`
, dus
`x^2 - 5x + 4 = 0`
en
`x = 1 vv x = 4`
.
Alleen
`x = 1`
voldoet.
`3 sqrt(x) = 14` geeft `sqrt(x) = 14/3` en `x = 196/9` .
`3 + sqrt(2x) = 14` geeft `sqrt(2x) = 11` en `2x = 121` , dus `x = 121/2 = 60,5` .
`x + sqrt(x) = 6`
geeft
`sqrt(x) = 6 - x`
en
`x = (6 - x)^2`
, dus
`x^2 - 13x + 36 = 0`
.
Ontbinden geeft
`x = 4 vv x = 9`
. Alleen
`x = 4`
voldoet.
Als je deze getallen in de formule invult komt er inderdaad `0` uit.
In het midden is
`x = 0`
.
Dit invullen in de formule geeft
`h = 5`
.
Dus
`5`
meter.
`sqrt(25 - x^2) = 4`
geeft
`25 - x^2 = 16`
, ofwel
`x^2 = 9`
en
`x = +-3`
.
De vrachtauto's moeten maximaal minder dan
`3`
breed zijn.
Je kunt bijvoorbeeld
`BK = KV = x`
m noemen.
Dan is
`x = sqrt((15-x)^2 + 3^2)`
.
Deze vergelijking kun je algebraïsch oplossen:
`x^2 = 225 - 30x + x^2 + 9`
geeft
`30x = 234`
en dus
`x = 234/30 = 7,8`
m.
De lengte van het pad is
`2*7,8 = 15,6`
m.
Los op:
`x + sqrt(8 - x^2) = 2x`
.
Beide zijden
`x`
aftrekken geeft
`sqrt(8 - x^2) = x`
.
Kwadrateren geeft
`8 - x^2 = x^2`
en dus
`2x^2 = 8`
en
`x = +-2`
.
Het snijpunt is
`(2, 4)`
.
Vul in `m_1 = 0,120*1*2000 = 240` kg/m2 en `m_2 = 0,100*1*1850 = 185` kg/m2.
Je krijgt `f_r = 60*sqrt((240+185)/(240*185*0,180))≈14` Hz.
Nu is `m_1 = 0,120*1*2000 = 240` kg/m2 en `m_2 = x*1*1850 = 1850x` kg/m2.
Dus `f_r = 60*sqrt((240+1850x)/(240*1850x*0,180))=12` Hz.
Hieruit volgt `(240+1850x)/(240*1850x*0,180) = (12/60)^2 = 0,04` .
Dus `240+1850x = 3196,8x` en `1346,8x = 240` , zodat `x ~~ 0,178` m.
De dikte van de muur is `178` .
`a`
kun je berekenen met de stelling van Pythagoras in
`∆MPR`
. (Beredeneer eerst dat
`∆MPR`
rechthoekig is!)
Daarin is
`MR=MQ`
gelijk aan de straal van de aarde, dus
`40000/ (2 π) ≈6366200`
m.
En dus is:
`a^2= (6366200 +h) ^2-6366200^2`
.
Zodat:
`a=sqrt( (6366200 +h) ^2-6366200^2)`
.
Hieruit volgt: `a=sqrt( 12732400 h+h^2 )`
Omdat `h^2` heel veel kleiner is dan `12732400 h` kun je `h^2` verwaarlozen.
Dan is `a ~~ sqrt(12732400 h) ~~ 3568sqrt(h)` .
De straal van de maan is ongeveer
`1738`
km.
Nu wordt:
`a=sqrt( (1738000 +h)^2 - 1738000^2) = sqrt( 3476000 h+h^2 )`
.
Ook nu kun je dit benaderen door
`a ~~ sqrt(3476000 h) ~~ 1864sqrt(h)`
.
Minder ver, vergelijk beide formules maar.
`x = 4 vv x = text(-)4` .
`x = 2` .
De rivierbodem is `12` m breed.
De rivierbodem is `2*sqrt(32)~~11,3` m breed.