Machten en wortels

Machten en wortels > Omgekeerd evenredig met een macht

12345Omgekeerd evenredig met een macht

Voorbeeld 3

De kracht die twee massa's $m_{1}$ $m_1$ en $m_{2}$ $m_2$ op elkaar uitoefenen heet de zwaartekracht. Deze kracht is vooral merkbaar als het over grote massa's gaat, zoals hemellichamen. De formule voor de zwaartekracht is

$F = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}$ $F = G * (m_1 * m_2)/(r^2)$

Hierin is:

$F$ $F$ de zwaartekracht (in N)
$G$ $G$ de gravitatieconstante, $G \approx 6,674 \times 10^{- 11}$ $G ~~ 6,674 xx 10^(text(-)11)$ m³s^-2kg^-1
$m_{1}$ $m_1$ en $m_{2}$ $m_2$ de massa's (in kg) van de betrokken lichamen
$r$ $r$ de afstand (in m) tussen de zwaartepunten van de betrokken lichamen

Gebruik de volgende gegevens en laat zien dat $F \approx 2,93 \cdot 10^{37} r^{- 2}$ $F ~~ 2,93*10^37r^(text(-)2)$ voor de aantrekkingskracht tussen de aarde en de maan.

De massa van de aarde is ongeveer $5,97 \cdot 10^{24}$ $5,97*10^24$ kg en de diameter is ongeveer $12.756$ $12.756$ km.

De massa van de maan is ongeveer $7,35 \cdot 10^{22}$ $7,35*10^22$ kg en de diameter is ongeveer $3476$ $3476$ km.

Bereken de aantrekkingskracht tussen aarde en maan op het moment dat de kleinste afstand tussen een punt op het aardoppervlak en een punt op het maanoppervlak $363.000$ $363.000$ km is.

> antwoord

Uit de gegevens volgt:

$m_{1} \approx 5,97 \cdot 10^{24}$ $m_1 ~~ 5,97*10^24$ kg
$m_{2} \approx 7,35 \cdot 10^{22}$ $m_2 ~~ 7,35*10^22$ kg
$r = \frac{12756}{2} + \frac{3476}{2} + 363000 = 371116$ $r = 12756/2 + 3476/2 + 363000 = 371116$ km en dat is ongeveer $371 \cdot 10^{6}$ $371*10^6$ m

Dus $F \approx 6,674 \cdot 10^{- 11} \cdot \frac{5,97 \cdot 10^{24} \cdot 7,35 \cdot 10^{22}}{r^{2}} \approx (2,93 \cdot 10^{37}) \cdot \frac{1}{r^{2}} =$ $F ~~ 6,674*10^(text(-)11)* (5,97*10^24 * 7,35*10^22)/r^2 ~~ (2,93*10^37)*1/(r^2) =$ $2,93 \cdot 10^{37} \cdot r^{- 2}$ $2,93*10^37*r^(text(-)2)$ .

De gevraagde aantrekkingskracht is $F \approx \frac{2,93 \cdot 10^{37}}{{(371 \cdot 10^{6})}^{2}} \approx 2,13 \cdot 10^{20}$ $F ~~ (2,93*10^37)/((371*10^6)^2) ~~ 2,13*10^20$ N.

Opgave 7

Bekijk de formule voor de aantrekkingskracht $F$ (in N) tussen twee massa's in Voorbeeld 3.

Leg uit, hoe je aan de waarde voor $r$ komt.
Welke aanname moet je doen?

Voer zelf de herleiding van de algemene formule tot machtsfunctie uit.

De afstand van de aarde tot de maan verandert in de loop van een omwenteling van de maan om de aarde.
Bij welke afstand tussen hun middelpunten is de zwaartekracht $2*10^20$ N?

Je kunt de gegeven zwaartekrachtformule ook gebruiken voor het berekenen van de kracht die de aarde op objecten op zijn oppervlakte uitoefent.

Laat zien dat voor een object met massa $m_2$ geldt $F ~~ 9,80*m_2$ N.

Oefenen | Voorbeeld 2