Periodieke functies > Periode, amplitude en evenwichtsstandUitleg
Hier zie je een schematische weergave van een windmolen. Neem aan dat punt `P` rondjes draait met een periode van `5` seconden, de omwentelingstijd. De hoogte van de molen (neem aan dat dit ook de hoogte van de draaias is) en de lengte van de wieken zijn gegeven in de figuur. De hoogte `h` (in m) van punt `P` boven de grond, hangt af van de tijd `t` in seconden:
`h = 10*sin((2pi)/5 * t) + 28`
Ga zelf na, hoe je deze formule kunt beredeneren en maak de bijbehorende grafiek.
Het wordt een sinusgrafiek die uit de standaard sinusfunctie ontstaat door:
-
met `1/((2pi)/5) = 5/(2pi)` te vermenigvuldigen in de `x` -richting,
ofwel de periode `5` te maken; -
met `10` te vermenigvuldigen in de `y` -richting,
ofwel de maximale uitwijking, de amplitude, `10` te maken; -
met `28` te verschuiven in de `y` -richting,
ofwel de evenwichtsstand `28` te maken.
Om de grafiek goed in beeld te krijgen neem je op de horizontale as (de
`t`
-as) minstens twee periodes:
`0 le t le 10`
.
Op de verticale as zit de grafiek tussen
`28-10=18`
en
`28+10 = 38`
.
Bekijk de formule van de hoogte `h` van punt `P` afhankelijk van de tijd `t` in de Uitleg 1.
Maak zelf de grafiek van `h` . Kies geschikte instellingen voor de assen.
De evenwichtsstand van dit periodieke verschijnsel is een horizontale lijn.
Welke formule hoort daarbij?
Welke maximale waarden heeft de grafiek van `h` ? En welke waarden voor `t` horen daarbij?
Welke minimale waarden heeft de grafiek van `h` ? En welke waarden voor `t` horen daarbij?
Welke positie heeft `P` als `t = 0` ?
Waaraan zie je dat `P` tegen de klok in draait?
Een andere windmolen heeft een hoogte van
`35`
m en wieken met een lengte van
`15`
m.
De omwentelingstijd van de wieken is
`3`
seconden.
Je bekijkt de hoogte
`h`
(in m) van de tip van een wiek afhankelijk van de tijd
`t`
(in s).
De wieken draaien linksom en op
`t = 0`
wijst deze wiek precies horizontaal naar rechts.
Welke formule kun je voor `h` opstellen?
Welke transformaties moet je op de standaard sinusgrafiek toepassen om de grafiek van `h` te krijgen?
Hoe groot zijn de amplitude en de evenwichtsstand?
Op welke tijdstippen is `h = 25` m? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Hoe lang elke periode is `h ge 25` m? Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Bekijk de formule van
`h`
in de Uitleg 1.
De windmolen heeft nog twee wieken.
`Q`
is de tip van de wiek die eenzelfde hoogtegrafiek heeft als
`P`
maar precies
`1/3*5 = 5/3`
seconde later.
Hoe loopt de grafiek van `h_Q` , de hoogtegrafiek van punt `Q` ?
Schrijf een formule voor `h_Q` op.