$12$ hoekpunten, $18$ ribben en $8$ grensvlakken.

Zijvlaksdiagonalen:
Elk opstaand zijvlak heeft er `2` , elke zeshoek heeft er `(6*3)/2=9` (vanuit elk hoekpunt kun je er drie trekken, maar dan tel je wel elke diagonaal dubbel). Dat is in totaal `6*2 + 2*9 = 30` .

Elke lichaamsdiagonaal ligt in een verticaal diagonaalvlak, in elk verticale diagonaalvlak liggen er `2` . In een bovenaanzicht zie je dat er `9` verticale diagonaalvlakken zijn en dus zijn er in totaal `9 * 2 = 18` lichaamsdiagonalen.

Teken een cirkel met straal $4$ en pas daarop zes punten af die $4$ cm van elkaar af liggen. Je krijgt dan de regelmatige zeshoek $ABCDEF$.

Zo'n regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van $4$ cm. Elke gelijkzijdige driehoek kun je verdelen in twee congruente driehoeken met zijden van $4$, $2$ en $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ cm. Daaruit volgen de lengtes van de lichaamsdiagonalen.

Dit diagonaalvlak is een rechthoek van $8$ cm bij $6$ cm.

Omdat `tan(/_ EBK) = 6/8 = 0,75` is `/_ EBK ~~ 37^@` .

Dit diagonaalvlak is een rechthoek van $4\sqrt{3}$ cm bij $6$ cm.

Omdat `tan(/_ FBL) = 6/(4sqrt(3))` is `/_ FBL ~~ 41^@` .

Omdat elke verbinding tussen twee hoekpunten in een grensvlak ligt.

$3\cdot 2=6$

Doen. Je kunt de lengte van $AM$ en $BM$ opmeten in een vierkant van $6$ cm bij $6$ cm, of deze lengte berekenen. Je vindt $AM=BM=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$.

Maak in $\Delta ABM$ een rechte hoek door hoogte $MN$ te tekenen. Dan is `sin(/_ NMB) = 3/(sqrt(45))` en dus `/_ NMB ~~ 26,6^@` .

En dus is `/_ AMB ~~ 53^@` .

Alleen $6$ zijvlaksdiagonalen in het grondvlak. En daarbij horen ook $6$ diagonaalvlakken.

Maak in $\Delta BTE$ een rechte hoek door hoogte $TS$ te tekenen. Dan is `sin(/_ BTS) = 6/24 = 0,25` en dus `/_ BTS ~~ 14,5^@` .

En dus is `/_ BTE ~~ 29^@` .

Maak in $\Delta BTF$ een rechte hoek door hoogte $TP$ te tekenen. Dan is `sin(/_ BTP) = (3sqrt(3))/24` en dus `/_ BTP ~~ 12,5^@` .

En dus is `/_ BTE ~~ 25^@` .

$ABCD$ is een rechthoek van $8$ bij $6$ cm. Dus is driehoek $ABC$ een rechthoekige driehoek waarin je de stelling van Pythagoras kunt doen: $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$.

Teken eventueel rechthoek $ACGE$.

$AG=\sqrt{{10}^2+5^2}=\sqrt{125}$ en $CM=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}$ cm.

$\Delta ACN\sim \Delta GMN$ omdat `/_ ANC = /_ GNM` (overstaande hoeken) en `/_ CAN = /_ MGN` (Z-hoeken). Dus hebben beide driehoeken gelijke hoeken en zijn ze gelijkvormig.

Omdat $AC:GM=2:1$ en $\Delta ACN\sim \Delta GMN$ zijn de zijden van $\Delta ACN$ $2$ keer zo groot dat die van $\Delta GMN$. En dus is $CN=\frac{2}{3}CM=\frac{2}{3}\sqrt{50}\approx \mathrm{4,71}$.

Je hebt `AC = 10` al berekend.
Uit `tan(/_ CAN) = 5/10` volgt dat `/_ CAN ~~ 26,6^@` .
Uit `tan(/_ ACM) = 5/5` volgt dat `/_ ACM = 45^@` .
Dus is `/_ ANC ~~ 180^@ - 26,6^@ - 45^@ = 108,4^@` .
Sinusregel: `10/(sin(108,4^@)) = (CN)/(sin(26,6^@))` geeft `CN~~4,71` .

Een prisma (de zijwand is dan het grondvlak van dit prisma).

De onderste zijde moet `4,3` cm lang zijn (in verband met de dikte van het hout).
De voorste zijde is moet `6,3` cm lang zijn (de onderste helft is dichtgemaakt met een plankje dat een hoogte van `3,3` cm heeft en waarvan de onderste `0,3`  cm te maken heeft met de dikte van het hout).
De achterste zijde moet `8,3` cm lang zijn.
De schuine bovenzijde wordt `sqrt(4,3^2 + 2^2) ~~ 4,7` cm lang.

De onderste twee hoeken zijn recht.
Voor de bovenste hoek tegen de achterzijde geldt `tan(alpha) = (4,3)/2` zodat `alpha ~~ 65^@` is.
De bovenste hoek aan de voorzijde is daarom ongeveer `180^@ - 65^@ = 115^@` .

De twee gelijke benen zijn `sqrt(1^2 + 1,5^2) = sqrt(3,25) ~~ 1,80` m.
De basis is `sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2) ~~ 1,41` m.

Zie figuur. De piramide is niet regelmatig, want het grondvlak is geen vierkant.

$EP=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$ en dus is $AE=\sqrt{41+3^2}=\sqrt{50}$. Zo lang zijn alle opstaande ribben.

Neem aan, dat $M$ het midden van $BC$ is, dan is $MF=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$.

Dus is `tan(/_ MBF) = (sqrt(34))/4` zodat `/_ MBF ~~ 56^@` .
De gevraagde hoeken zijn daarom `56^@` , `56^@` en `68^@` .

`tan(/_ PAE) = (sqrt(41))/3` zodat `/_ PAE ~~ 58^@` .
De gevraagde hoeken zijn daarom `58^@` , `58^@` , `122^@` en `122^@` .

Teken de piramide.

In het grondvlak is $AC=\sqrt{8^2+6^2}=10$. Als $S$ het snijpunt is van $AC$ en $BD$, dan is $ST$ de hoogte van de piramide. Met de stelling van Pythagoras vind je $ST=\sqrt{{10}^2-5^2}=\sqrt{75}$.

Omdat `sin(/_ ATS) = 5/10 = 0,5` is `/_ ATS = 30^@` en dus `/_ ATC = 60^@` .

`/_ BAT` ligt in de gelijkbenige driehoek $ABT$. Dus `cos(/_ BAT) = 4/10 = 0,4` zodat `/_ BAT ~~ 66,4^@` .

Teken de balk.

`AC = sqrt(4^2+3^2) = 5` en `AG = sqrt(5^2+3^2) = sqrt(34)` .
`HB = AC = sqrt(34)` en `AS = BS = 1/2 sqrt(34)` .
`Delta ABS` is gelijkbenig, dus `cos(/_ BAS) = (2)/(1/2 sqrt(34))` zodat `/_ BAS ~~ 46,7^@` .
De gevraagde `/_ ASB ~~ 180^@ - 2*46,7^@ ~~ 87^@` .

Nu gebruik je de gelijkbenige driehoek `ASC` : `tan(/_ CAS) = (5)/(sqrt(34))` zodat `/_ CAS ~~ 40,6^@` .
De gevraagde `/_ ASC ~~ 180^@ - 2*40,6^@ ~~ 99^@` .

Een regelmatig achtzijdig prisma.

De achthoek bestaat uit acht gelijkbenige driehoeken met een tophoek van $360°/8=45°$.
De hoeken van de achthoek worden gevormd door twee basishoeken en zijn daarom $135°$.

Zie figuur. $AP=\mathrm{7,8}\cdot sin(\mathrm{67,5})\approx \mathrm{7,21}$. Dus $AC\approx \mathrm{14,41}$.
En daardoor is $A{M}^2+M{C}^2=A{C}^2\approx {\mathrm{14,41}}^2$ en dus $AM\approx \sqrt{\mathrm{103,86}}\approx \mathrm{10,19}$.
Het langste staafje op de bodem heeft een lengte van $2\cdot AM\approx \mathrm{20,38}\approx \mathrm{20,4}$ cm.

Ongeveer $\sqrt{{\mathrm{20,38}}^2+{\mathrm{3,3}}^2}\approx \mathrm{20,6}$ cm.

$\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{73}$

$\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}$

Afhankelijk van enkele details (de hoogte van de voet bijvoorbeeld) ongeveer een halve bol met een straal van `1` m.

Afhankelijk van enkele details (de hoogte van de voet bijvoorbeeld) ongeveer een halve cilinder met een hoogte van `50` cm en een straal van `1` m met op beide uiteinden van de cilinder een kwart bol met een straal van `1` m.

Maximaal `6+10 = 16` cm.

Een halve cilinder met een straal van `16` cm. Op de uiteinden kunnen theoretisch nog twee halve cilinders met een straal van `10` cm, maar in de praktijk zullen die niet volledig kunnen worden gehaald omdat dan de buis in de weg zit.
In de volgende paragraaf ga je hier een bovenaanzicht bij maken.

`AP = sqrt(35)`

`PQ = sqrt(8)`

`∠APM ≈ 76^@` , `∠AQM ≈ 76^@` en `∠PAQ ≈ 28^@` .