Periodieke functies > Periodieke modellenAntwoorden van de opgaven
De amplitude is `90` cm, de evenwichtsstand `h = text(-)10` en de periode ongeveer `12,25` uur.
`h(t) = 90*cos((2pi)/(12,25)(t - 6)) - 10` met `t=0` om 0:00 uur diezelfde dag.
`h(30) ~~ 77` cm boven NAP.
De periode is de tijd tussen twee opeenvolgende toppen, dit geeft `6,125 +6,125 =12,25` uur.
De amplitude is het hoogteverschil tussen hoogwater en de gemiddelde waterhoogte, dit is 90 cm.
De evenwichtslijn is het gemiddelde waterpeil, dit is het gemiddelde van hoogwater (+80 cm boven NAP) en laagwater (-100 cm boven NAP).
`h(t)~~0,9 cos( (2 pi) /(12,25)(t-6 ))-0,1`
Voer in: `y_1=0,9 sin(0,52 (t-2,94 ))-0,1` en `y_2=0,9 cos( (2 pi) /(12,25)(t-6 ))-0,1`
Venster bijvoorbeeld: `[0, 24]xx[text(-)1, 1]`
`y=4 sin(x)`
`y=20 +10 sin(x)`
`y=4 sin(1/2x)`
`y=10 +5 sin(pi/5(x-2 ))`
`y=10 +7 1/2sin(1/5pi(x-5 ))`
of
`y=10 -7 1/2sin(1/5pix)`
`y=10 +7 1/2cos(1/5pi(x-7 1/2))`
of
`y=10 +7 1/2cos(1/5pi(x+2 1/2))`
Het maximum van de functie is `3` en het minimum `text(-)7` . Dit betekent dat:
-
de amplitude is `a= (3 +7) /2=5`
-
de evenwichtslijn is `y=3 -5 =text(-)2`
Twee opvolgende maxima zitten bij `x=2,5` en `x=8,5` . De periode is `p=6` . Ga uit van de standaardsinus, dan is de horizontale verschuiving de `x` -waarde van een punt op de grafiek op de evenwichtslijn op het moment dat de grafiek daar stijgt. Hier is dat `x=1` . Het functievoorschrift wordt: `f(x)=5 sin( (2 pi) /6(x-1 ))-2=text(-)2 +5 sin(1/3pi(x-1 ))`
`y=text(-)2 +5 cos(1/3π (x-2,5 ))`
De periode is
`4pi`
, de amplitude is
`(4-0)/2=2`
en de evenwichtslijn is
`y=4-2=2`
.
Het beginpunt van de sinus op de evenwichtslijn is bij
`x= pi`
(op een vierde van de periode).
`y=2 sin(0,5 (x-pi ))+2`
De omtrek is `2 pi*2=4pi` .
| `2 cos(0,5 (x-2pi))+2` | `=` | `3` | |
| `cos(0,5 (x-2pi))` | `=` | `0,5` | |
| `0,5(x-2pi)` | `=` | `1/3pi +k*2pi vv 0,5(x-2pi)=text(-)1/3pi +k *2pi` | |
| `x` | `=` | `2 2/3pi +k*4pi vv x=1 1/3pi+k*4pi` | |
| `x` | `=` | `2 2/3pi vv x=1 1/3pi` |
De lengte van lijnstuk `CD` is `2 2/3pi- 1 1/3pi= 1 1/3pi` .
De punten `A` en `B` liggen symmetrisch ten opzichte van `x=2pi` en op de grafiek.
`x_A=2pi-2~~4,283` geeft: `y_A~~3,081`
`x_B=2pi+2~~8,283` geeft: `y_B~~3,081`
Het is ongeveer twee keer per dag eb en vloed. De periode is
`15,3833... - 3,0833... = 12,3`
uur:
`b=(2pi)/(12,3)`
.
De horizontale verschuiving is
`3,08 + 12,3 // 4 ~~ 6,16`
uur.
De evenwichtsstand is
`h = (130 + text(-)50) // 2 = 40`
cm.
De amplitude is
`130 - 40 = 90`
cm.
De formule wordt `h(t) = 90 sin((2pi)/(12,3)(t - 6,16)) + 40` .
`y=3sin(2(x-pi/4))-1`
`y=5sin(pi(x-1))+2`
`y=2sin(pi/3(x-3/2))`
`y_1 =text(-)1 +4 sin( (2 pi) /4(x-2 ))`
`y_2 =4 sin( (2 pi) /20x)`
`y_3 =4 +2 sin( (2 pi) /10x)`
`y_4 =5 +2 sin( (2 pi) /8(x+4 ))`
`f(x)=1 +2 sin(2 (x-1/6pi))`
`f(0 )=1 -sqrt(3 )`
`3/4pi+k*pi≤x≤1/12pi+k*pi`
De frequentie is `12` keer per minuut.
De amplitude is `0,25` .
De evenwichtslijn is `V=4,95` .
De periode is `5` seconden.
`V=4,95 +0,25 cos(2/5pi* t)`
Zie figuur.
Schijf I: M is in
`A`
op
`t=0`
,
`2`
,
`4`
,
`6`
,
`8`
,
`10`
,
`12`
Schijf II: M is in
`C`
op
`t=0`
,
`3`
,
`6`
,
`9`
,
`12`
Dit gebeurt op
`t=0`
,
`6`
,
`12`
, ...
Schijf I: M is in
`B`
op
`t=0`
,
`1`
,
`3`
,
`5`
, ...
Schijf II: M is in
`D`
op
`t=1(1)/2`
,
`4(1)/2`
,
`7(1)/2`
, ...
Deze reeksen hebben geen gemeenschappelijke tijdstippen.
Schijf I:
`H(t)=1*sin ((2pi)/2*t)`
.
Schijf II:
`H(t)=1*sin ((2pi)/3*t)`
.
| `sin(pi t)` | `=` | `sin(2/3 pi t)` | |
| `pi t` | `=` | `2/3 pi t+k*2pi` of `pi t=pi-2/3 pi t+k*2pi` | |
| `t` | `=` | `k*6` of `t=3/5+k*(6)/5` |
Voor het eerst op dezelfde hoogte na `3/5 = 0,6` s.
Zie grafiek bij b. Dit geldt voor `t` op interval `langle 0; 0,6 rangle` en `t` op interval `langle 1,8; 3 rangle` .
Nee, de verandering van de plaats van de schaduw is niet constant. Zie de figuur: `sin60°` is ongelijk aan `2*sin30°` .
`5` meter. Het verschil tussen minimum en maximum is tweemaal de straal.
Zie figuur.
Nee, mits hij start vanuit de maximale of minimale afstand tot Jan.
`S(t)=20+5*cos((2pi)/60*t)`
`S(9)=20+5*cos((2pi)/60*9)=20+2,94=22,94` m.
| `S(t)` | `=` | `23` m | |
| `23` | `=` | `20+5*cos((2pi)/60*t)` | |
| `cos((2pi)/60*t)` | `=` | `0,6` | |
| `1/30pi*t` | `=` | `0,295pi+k*2pi` of `1/30pi*t=-0,295pi+k*2pi` | |
| `t` | `=` | `8,86+k*60` of `t=-8,86+k*60=51,14+k*60` |
Zie de figuur. Jan is na `30` s (op tijdstip `t=52,5` ) `30*1(1)/3=40` m van het bankje verwijderd. Uit de grafiek blijkt dat Jan de schaduw maar één keer tegenkomt.
Na ± `34` s (zie grafiek). Je kunt het controleren door `S(34)` te vergelijken met de afstand die Jan op dat tijdstip heeft afgelegd.
Doen.
`f(x)=350 +50 sin( (2 pi) /24(x-26 ))`
`f(50 )=350 ,f(51 )~~351,29` en `f(52 )=352,5` .
`f(x)=325` geeft `sin( (2 pi) /24(x-26 ))=text(-)1/2` en dus `x=k*24 vv x=text(-)8 +k*24` .
`y=10 +7 1/2sin( (2 pi) /10(x+5 ))` `y=10 +7 1/2cos( (2 pi) /10(x+2 1/2))`