Meetkunde in 3D

Meetkunde in 3D > Hoeken en afstanden

12345Hoeken en afstanden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

$/_\ABC$ is gelijkzijdig ( $3$ hoeken van $60^@$ ) dus $Opp_(/_\ABC)=1/2xx1xx1xxsin(60°)=1/4sqrt(3) rArr Opp_(zeshoek)=6xx1/4sqrt(3)~~2,6$ .

Een lijnstuk wordt $8$ keer over dezelfde hoek verdraaid om vervolgens in dezelfde stand (richting) terug te komen.

De som van de hoeken in een driehoek is gelijk aan $180^@$ .
De top van elke driehoek is $(360/8)^@$ (er passen $8$ tophoeken in de hele cirkel).
Dus $/_1$ en $/_2$ zijn samen gelijk aan $180^@-(360/8)^@$ .
De hoek van de achthoek bestaat steeds uit $/_1+/_2=180^@-(360/8)^@$ .

Vervang in de voorgaande redenering, $8$ steeds door $n$ .

Rekenmachine laten rekenen met graden!

$Opp_(n-hoek)=nxx0,5xx1xx1xxsin((360)/n)=0,5xxnxxsin((360)/n)$ en $Opp_(cirkel)=pixx1^2=pi$
$rArr pi-0,5xxnxxsin((360)/n) lt 0,01pi rArr sin((360)/n) gt (2xx0,99pi)/n$ .
Probeer $n=14 rArr$ klopt niet, probeer $n=15 rArr$ klopt.

Opgave 1

Het probleem wordt dan tweedimensionaal.

Bekijk het zijvlak $BCT$ met $Q$ het midden van $BC$ . In $Delta BQT$ geldt $QT = sqrt(20^2 - 10^2) = sqrt(300)$ .

Omdat $TM =TS-MS= sqrt((sqrt(300))^2-10^2) -r= sqrt(200)-r$ .

Omdat $/_MTR=/_QTS$ en $/_MRT=/_QST$ , dus alle hoeken zijn gelijk.

Vanwege de gelijkvormigheid van de driehoeken $QST$ en $MRT$ is: $r/10 = (sqrt(200) - r)/(sqrt(300))$ . Hieruit volgt $r ~~ 5,18$ .

Opgave 2

Je weet dat $cos(/_Q)=(QT)/(QS)=10/sqrt(300)=1/sqrt(3)$ , dus $/_Q~~54,74$ .

Tevens is $/_MQS=1/2/_Q$ , en $tan(/_MQS)=(MS)/(QS)=r/10$ .

Dus $r=10*tan(1/2/_Q)~~5,18$ .

Opgave 3

Je krijgt zo een tweedimensionale voorstelling van de afstand tussen de bol en de ribben.

De cirkel heeft als middelpunt $M$ het punt op de symmetrieas $TS$ van $Delta ACT$ dat op een afstand $r ~~ 5,18$ boven $AC$ ligt.

Teken $MP _|_ CT$ en noem het snijpunt van $MP$ met de cirkel $Q$ .

Je ziet dat driehoeken $MPT$ en $CST$ gelijkvormig zijn. Dus je kunt zeggen $(MP)/(MT)=(CS)/(CT)$ .

Je weet dat $CT=20$ en $CS=sqrt(200)$ . Je weet ook dat $MT=sqrt(200)-r$ en $MP=PQ+r$ . Je hebt al eerder berekend dat $r~~5,18$ .

Invullen levert $(PQ+5,18)/(sqrt(200)-5,18)=sqrt(200)/20$ , waaruit volgt $PQ ~~1,16$ .

Opgave 4

$CD ~~ 34$ mm.

$52^2 = 65^2 + 43^2 - 2*65*43*cos(/_A)$ geeft $text(-)3370 = text(-)5590*cos(/_A)$ .

Dus $cos(/_A) = (text(-)3370)/(text(-)5590) ~~ 0,6029$ en $/_A ~~ 52,9^@$ .

$sin(/_A) = (CD)/(AC)$ geeft $sin(52,9^@) = (DC)/43$ , dus $CD ~~ 34,3$ mm.

Opgave 5

Zie de figuren bij a.

Zie de figuur bij het antwoord op deelvraag b.

Je weet algauw dat $TS=sqrt(6^2-3,6^2)=4,8$ . Je ziet ook dat driehoek $SBT$ gelijkvormig is met driehoek $YBL$ . Zo kun je met $(BS)/(TS)=(BY)/(LY)$ achterhalen dat $(LY)=3,6/4,8*2,5=1,875$ . Tot slot kan je de breedte van de kamer bepalen met $XY=7,2-2*LY=3,45$ .

Zie de figuur bij het antwoord op b.

Je weet al dat $TS=sqrt(6^2-3,6^2)=4,8$ . Je ziet ook dat driehoek $SRT$ gelijkvormig is met driehoek $ZRN$ . Zo kun je met $(RS)/(TS)=(RZ)/(NZ)$ achterhalen dat $RZ=10/4,8*2,5~~5,21$ . Tot slot kan je de breedte van de kamer bepalen met $SZ=10-RZ=4,79$ .

Opgave 6

Op de uitslag heeft driehoek $ABT$ een grondvlak $|AB|$ met een geschaalde breedte van $3,6$ cm en hoogte van $3$ cm. $|BC|$ is geschaald $5$ cm, enzovoorts.

Afgerond $117,21$ m².

Opgave 7

Uit $AC = sqrt(10^2 + 10^2) = sqrt(200)$ volgt $CB = 1/2 sqrt(200) = 1/2*10sqrt(2) = 5sqrt(2)$ .

$BT = sqrt((5sqrt(2))^2 + 4^2) = sqrt(66)$ en $tan(/_CBT) = 4/(5sqrt(2))$ geeft $/_CBT ~~ 29,5^@$ .

$/_CBT ~~ 29,5^@$ , dus $/_CTN ~~ 60,5^@$ .

$cos(60,5^@) = (TN)/(TM) = (1/2 sqrt(66))/(TM)$ geeft $TM ~~ 8,25$ m.

Het middelpunt van de cirkel ligt ongeveer $8,25 - 4 = 4,25$ m onder de bovenrand van de bak.

Opgave 8

Je moet de straal van zo'n halve cirkel berekenen, noem hem $r$ (meter).

Zet deze straal twee keer in je figuur, als $MC$ en als $MB$ bijvoorbeeld.
In de rechthoekige $Delta DMC$ is dan $DC = 4$ , $DM = 8-r$ en $MC = r$ m.

Nu is $4^2 + (8-r)^2 = r^2$ en dus $80 - 16r = 0$ zodat $r=5$ m.

De straal van beide cirkels is daarom $5$ . De opslagruimte is $5$ m hoog.

Opgave 9

Dit kan door twee keer de stelling van Pythagoras te doen.
Maar het kan ook in één keer: $DE = sqrt(4^2 + 4^2 + 1^2) = sqrt(33)$

$/_DEF$ kun je met de cosinusregel berekenen: $5^2 = 33 + 32 - 2*sqrt(33)*sqrt(32)*cos(/_DEF)$
Je vindt $/_DEF≈52^@$ .

Ja, $/_DEF$ kun je zowel met de cosinusregel als met de sinusregel berekenen.

Met de sinusregel: $5/(sin(/_DEF)) = (sqrt(32))/(sin(63^@))$ .

In beide gevallen vind je $/_DEF≈52^@$ .

$EP = sqrt(33)*sin(63^@)~~5,12$ .

Opgave 10

Figuur a:

$BC^2=4^2+5^2-2*4*5*cos(60)$ . Hieruit volgt $BC =sqrt(21)~~4,58$ .

$5^2=4^2+(sqrt(21))^2-2*4*sqrt(21)*cos(angle B)$ geeft $angle B ~~ 70,9^@$ .

Figuur b:

$5/(sin(\angle E))=6/(sin(60))$ geeft $\angle E ~~ 46,2^@$ en daarmee $angle F ~~ 73,8^@$ . $/_E = 180^@$ $- 46,2^@$ $=133,8^@$ vervalt.

$6/(sin(60))=(DE)/(sin(angle F))$ geeft $DE ~~ 6,65$ .

Figuur c:

$10/(sin(70))=5/(sin(angle L))$ geeft $/_L ~~ 28,0^@$ en daarmee $angle MKL~~82,0^@$ . $/_L = 152,0^@$ vervalt.

$ML^2=5^2+10^2-2*5*10*cos(angle MKL)$ geeft $ML ~~ 10,54$ en daarmee $MN ~~ 2,54$ .

$NK^2=5^2+MN^2-2*5*MN*cos(70)$ geeft $NK ~~4,77$ .

$(NK)/(sin(angle L))=10/(sin(angle LNK))$ geeft $angle LNK~~100,0^@$ ( $angle LNK~~80,0^@$ kan niet, aangezien de hoek stomp is).

Opgave 11

Redelijkerwijs zijn er twee opties om een zo groot mogelijk schilderij de bestelbus in te krijgen: diagonaal liggend, of diagonaal staand. Je bekijkt welke van de twee een grotere oppervlakte zou hebben.

Een diagonaal liggend schilderij heeft een lengte $sqrt(2^2+1,3^2)=sqrt(5,69)$ en breedte $1,6$ , dus een oppervlakte van $1,6*sqrt(5,69)~~3,8$ m².

Een diagonaal staand schilderij heeft lengte $sqrt(2^2+1,6^2)=sqrt(6,56)$ en breedte $1,3$ , dus een oppervlakte van $1,3*sqrt(6,56)~~3,3$ m².

Het grootste schilderij dat erin past heeft dus een oppervlakte van ongeveer $3,8$ m².

Opgave 12

De opstaande ribben zijn allemaal even lang. Dus een ribbe uitrekenen is voldoende.

Trek vanuit $E$ een loodlijn naar $AB$ . Noem dit snijpunt $X$ . Dan geldt $EX=sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41)$ .

Daarna kun je in $ΔAXE$ de lengte van de opstaande ribbe $AE$ uitrekenen: $AE=sqrt(3^2+41)=sqrt(50)$ .

$tan(∠ABF)=sqrt(41)/3$ , dat geeft $∠ABF~~65°$ .

Teken in $ΔBCF$ de hoogtelijn uit $F$ op $BC$ . Noem het voetpunt $T$ .

Dan geldt $TC=4$ en $cos(∠BCF)=4/sqrt(50)$ geeft $∠BCF~~56°$ .

De breedte van de verdiepingsvloer is $2/5*8 =3,2$ m.
De lengte is $6 +2 *2/5*3 =8,4$ m.
De oppervlakte is $3,2 *8,4=26,88$ m².

Opgave 13

$EH=HG=sqrt(4^2+3^2)=5$ en $EG=AC=sqrt(4^2+4^2)=4sqrt(2)$ .

Cosregel: $32=25+25-2*5*5*cos(/_EHG)$ , ofwel $cos(/_EHG)=18/50$ , en dus is $/_EHG~~68,90^@$ .

Schets driehoek $EGH$ , met de hoogtelijn door $G$ . Noem het snijpunt van $EH$ en de hoogtelijn $S$ . $/_H~~68,90^@$ , en $HG=5$ .

Dus $sin(/_H)=(GS)/(HG)$ , ofwel $GS=HG*sin(/_H)~~4,66$ .

Opgave 14

Hier zie je het bedoelde (rechthoekige) trapezium.

De afmeting van de bovenrand vind je met gelijkvormigheid: $10/x = 60/45$ geeft $x=7,5$ (zie bovenaanzicht).

De zijde waar $83,2$ m bij staat heeft een precieze lengte van $sqrt(45^2+70^2)=sqrt(6925)$ .
De langste zijde van het trapezium is $sqrt(6925 +6,5^2)=sqrt(6967,25)≈83,5$ m.

$cos(alpha) ~~ (6,5)/(83,5)$ geeft $alpha ~~ 85^@$ .

Behalve twee rechte hoeken is er een hoek van ongeveer $85^@$ en een hoek van ongeveer $95^@$ .

Opgave 15

Maak een schets van de situatie. Hier zie je dat $AC$ een rechte lijn is. Trek ook een loodrechte lijn op de muur door het punt $A$ . Het snijpunt van deze lijn met de muur noem je $S$ . Je weet dat $BS=30$ cm en $CS=120$ cm.

Zo zie je dat $AS=sqrt(100^2-30^2)=sqrt(9100)$ , en daarmee is $AC=sqrt(9100+120^2)~~153,30$ cm.

Noem de hoek van de cirkelboog die $A$ aflegt $alpha$ . Dan is $cos(180-alpha)=30/100$ , dus $alpha~~107,46^@$ .
De lengte van de cirkelboog is dan $(pi*alpha*AB)/180~~187,55$ cm.

Maak een schets van de situatie. Trek een loodrechte lijn op de muur door $A$ . Noem de snijpunt van deze lijn met de muur $P$ . Dan is $BP=20$ cm. Zo zie je algauw dat $AP=sqrt(100^2-20^2)~~97,98$ cm.

Maak een schets van de situatie. Trek een loodlijn op $AB$ door $C$ , en noem het snijpunt $Q$ . Dan is $CQ=a$ , en in driehoek $BCQ$ kan je zo zien $sin(beta)=a/90$ , en dus is $a=90sin(beta)$ .

Bij d heb je gevonden dat $a=90sin(beta)$ , dus $sin(beta)=1/2$ , en $beta=30^@$ .

Noem de afstand van punt $A$ tot de muur $b$ . Dan is $sin(30^@)=b/(AB)$ , en dus $b=100*1/2=50$ cm.

Opgave 16

$PG = sqrt(3^2 + 3^2 + 6^2) ~~ 7,3$ .

$BP=sqrt(3^2+3^2) = sqrt(18)$ , $PQ=BP=sqrt(18)$ en $BQ=PG = sqrt(54)$ .
Cosinusregel: $54 = 18 + 18 - 2*sqrt(18)*sqrt(18)*cos(/_BPQ)$ geeft $/_BPQ = 120^@$ .

Het gaat om het lijnstuk van het midden van $PQ$ naar het midden van $CD$ .
De lengte van dat lijnstuk is $sqrt(4,5^2+4,5^2)~~6,4$ .

Teken het vlak door $P$ , $Q$ en $R$ . Het middelpunt $M$ van de cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van $PQ$ en $QR$ . De straal van de cirkel is $PR = sqrt(1,5^2 + 4,5^2) ~~ 4,74$ .

Ongeveer $4,40$ .

Opgave A1

Diameter kegel: $2xx6/(tan(35^@))=12/(tan(35^@))~~17,14$ cm.
Omtrek hele cirkel: $2xx10,46xxpi~~65,72$ cm.
$alpha=(53,84)/(65,72)xx360^@~~294,9^@$ .
Oppervlakte: $(53,84)/(65,72)xx(10,46)^2xxpi~~281,6$ cm².

Afstand: $2xx10,46xxcos(16,3^@)~~17,65$ cm.

$CB$ is de halve omtrek van een cirkel met straal $10$ cm.
$CB=(10xxpi)/2=5pi$ cm $rArr AB=sqrt((5pi)^2+2^2)~~15,8$ cm.

Opgave A2

$CB=(2,6xxpi)$ m $rArr AB=sqrt((2,6pi)^2+2,8^2)~~8,63$ m.

Het aantal keren dat je de spoed op de schroef telt geeft het aantal omwentelingen $n$ . Het aantal meter schroefdraad is bij benadering $n xx x$

Opgave T1

Tophoek $alpha ~~ 60,0^@$ (net geen $60^@$ ).
De andere twee hoeken zijn net iets meer dan $60^@$ .

De gevraagde afstand is $3,84 + sqrt(3,25^2 - 2^2) ~~ 6,40$ m.

| Testen