Als een deling niet uitkomt, blijft er een breuk over. Ook bij functies kan dit voorkomen:

• `f(x)= (3 x^5) / (2 x^2)` is een deling van `t(x)=3 x^5` en `n(x)=2 x^2` . Deze deling is echter te vereenvoudigen (mits `x≠0` ) tot `f(x)=1,5 x^3` .

• `g(x)=(2x)/ (x-1)` is een deling van `t(x)=2x` en `n(x)=x-1` die niet te herleiden is tot een machtsfunctie. Er blijft altijd een gebroken functie over.

Een functie die bestaat uit een deling (quotiënt) van twee functies heet een quotiëntfunctie.
Functie `f` kun je na de vereenvoudiging differentiëren.
Bij functie `g` ligt dat anders. Maar je kunt de afgeleide bepalen met de productregel:

• Schrijf de functie als: `g(x)=2x* (x-1) ^ (text(-)1)`

• Pas de productregel toe:
  `g'(x)=2 * (x-1) ^ (text(-)1) +2x*text(-)1 (x-1) ^ (text(-)2) = (2) / (x-1) - (2x)/(x-1) ^2`

Je kunt een gebroken functie differentiëren. Je krijgt een vorm met twee breuken. Die kun je gelijknamig maken en optellen:

`g'(x)=(2)/(x-1)-(2x)/(x-1)^2=(2(x-1)-2x)/(x-1)^2 = (text(-)2)/((x-1)^2)`

Het kan sneller met de volgende regel:

Als `f(x) = (t(x))/(n(x))` dan is `f'(x)=(t'(x)*n(x)-t(x)*n'(x))/(n(x))^2`

Dit is de quotiëntregel. Je kunt die regel zelf vinden door `f(x) = (t(x))/(n(x)) = t(x) * (n(x))^(text(-)1)` te schrijven en daarop de productregel toe te passen. Een mooie puzzel...