Dan kun je het venster (bijvoorbeeld `[0, 4pi] xx [text(-)2, 4]` ) goed instellen. Denk om radialen!

De functie is te schrijven als `y_3 = 1 + 2 sin(0,5 (x - 2))` . Je hebt dus een horizontale verschuiving van een `2` naar rechts.

De functie is maximaal als `0,5 x - 1 = 1/2 pi + k*2pi` . Dan vind je `x = pi+2 ~~ 5,14` en een maximum van `3` .

De functie is minimaal als `0,5 x - 1 = 1 1/2 pi + k*2pi` . Dan vind je `x = 3pi+2 ~~ 11,42` en een minimum van `text(-)1` .

`y_3 = 1 +2 sin(0,5 x-1 ) = 2` geeft `sin(0,5 x-1 )=0,5` .
En dus `0,5 x-1 = 1/6pi + k*2pi vv 0,5 x-1 = 5/6pi + k*2pi` zodat `x = 1/3pi + 2 + k*4pi vv x = 5/3pi + 2 + k*4pi` .
Dat is `x ~~ 3,05 vv x ~~ 7,24` .
Met de grafiek vind je `3,05 le x lt 7,24` .

Wel een sinusoïde.

Wel een sinusoïde.

Geen sinusoïde.

Wel een sinusoïde.

Geen sinusoïde.

Assen bijvoorbeeld `[0, 2pi] xx [text(-)4, 4]` . Denk om radialen!

Je kunt de tangens schrijven als `tan(x) = (sin(x))/(cos(x))` . De asymptoten liggen bij de nulpunten van de noemer, dus als `cos(x) = 0` . Dat is als `x = 1/2 pi + k * pi` . En dit zijn dan ook de asymptoten.

`tan(x) = 1` geeft `x = arctan(1) + k*pi ~~ 0,785 + k*pi` .

Je kunt ook zeggen dat dit geldt als `sin(x) = cos(x)` . Dit is voor `x = 1/4 pi + k * pi` .

Gebruik `tan(x) = (sin(x))/(cos(x))` en de exacte waarden van sin en cos.

`tan(0) = 0` , `tan(1/6 pi) = 1/(sqrt(3))` , `tan(1/4 pi) = 1` en `tan(1/3 pi) = sqrt(3)` .

`x = 1/3 pi + k*pi`

Periode `= 20` , amplitude `= 10` , evenwichtslijn `y = 15` en horizontale verschuiving: `5` naar rechts.

Gebruik GeoGebra, Desmos, of een GR. Assen bijvoorbeeld `[0, 50] xx [5, 25]` .

`x ~~ 4,03 vv x ~~ 15,97 vv x ~~ 24,03 vv x ~~ 35,97 vv x ~~ 44,03` .

Gebruik GeoGebra, Desmos, of een GR.
Twee opeenvolgende maxima zitten bij bijvoorbeeld `(0, 1)` en `(pi, 1)` .

De periode lijkt `π` te zijn.

Bijvoorbeeld `y = sin(2(x - 3/4 pi))` .

De gegeven formule heeft niet de vorm van een sinusoïde en op de grafiek alleen mag je niet afgaan.

Assen bijvoorbeeld `[0, 2pi] xx [text(-)1, 1]` .

Ja, bijvoorbeeld `y = sin(2x)` .

`x ~~ 0,26 vv x ~~ 1,31 vv x ~~ 3,40 vv x ~~ 4,45` .

`x = 1/12 pi vv x = 5/12 pi vv x = 1 1/12 pi vv x = 1 5/12 pi` .

Er is geen evenwichtsstand.

Nee.

De snijpunten met de `x` -as zijn `(0 + k * 1/2 pi, 0)` en die verschijnen dus periodiek.

Assen bijvoorbeeld `[0, 10] xx [text(-)2, 2]` . De grafiek lijkt inderdaad een sinusoïde, maar alleen als de functie te schrijven is in de juiste vorm mag je concluderen dat het een sinusoïde is.

Met de rekenmachine kun je de waarden die je wilt weten bepalen. Het maximum is ongeveer `1,41` en dit ligt bij `x ~~ 0,79` . De volgende top ligt `2pi` verder. Het minimum is ongeveer `text(-)1,41` , dus de evenwichtsstand is de horizontale as en de amplitude is `1,41` . De verschuiving naar links is `0,77` .

De formule wordt dan: `f(x) ~~ 1,41 sin(x + 0,79)` .

Nulpunten: `f(x) = 0` geeft `x ~~ text(-)0,79 + k * pi` , dus `(text(-)0,79 + k * pi; 0)` .
Toppen: `f(x) = +-1` geeft de toppen `(0,79 + k * 2pi; 1)` en `(3,93 + k * 2pi; text(-)1)` .

`f(x) = 1` geeft `x ~~ 0,00 + k * 2pi vv x ~~ 1,57 + k * 2pi` .
De ongelijkheid heeft als oplossing `0,00 + k * 2pi < x ≤ 1,57 + k * 2pi` .

De periode is `2pi` .

Nee, dit is geen sinusoïde.

Nulpunten `(1,05; 0)` , `(3,14; 0)` en `(5,24; 0)` .
Toppen: `(0, 2)` , `(1,82; text(-)1,25)` , `(3,14; 0)` , `(4,46; text(-)1,25)` en `(2pi, 2)` .

Periode is `pi` , amplitude is `0,5` , de evenwichtsstand is `y = 0,5` en de horizontale verschuiving is `0,5pi` .

Met de vorige gegevens vind je: `f(x) = 0,5 cos(2(x - 0,5pi)) + 0,5` .

`sin^2(x) = 1` geeft `sin(x) = +-1` en dus `x = 0,5pi + k * pi` .

Ga na, dat je hetzelfde vindt.

Je kunt de grafiek tekenen met je rekenmachine met venster `[0, 2pi] xx [text(-)2, 2]` .
De grafiek lijkt een sinusoïde met periode `2pi` , amplitude ongeveer `1,93` , horizontale verschuiving ongeveer `0,26` en evenwichtsstand `y = 0` .

De formule wordt dan: `f(x) ~~ 1,93 sin(x - 0,26)` .

`1,93 sin(x - 0,26) = 0,5` geeft `x ~~ 0,52 vv x ~~ 3,14 vv x ~~ 6,81 vv x ~~ 9,42` .
De oplossing van de ongelijkheid wordt `0 ≤ x ≤ 0,52 vv 3,15 ≤ x ≤ 6,80 vv 9,43 ≤ x ≤ 4pi` .

Denk er om dat met een frequentie van `440` trillingen per seconde, elke trilling een periode heeft van `1/440` seconde, dus heel klein. Neem bijvoorbeeld als venster `[0 , 3/440]xx[text(-)3 ,3 ]` .

Zie figuur.

Nee, hij is wel periodiek met periode `1/440` s, maar het is geen sinusoïde.

`u(t)= sin(330 *2 π*t)`

`u_1(t)= 0,5 sin(660 *2 π*t)`

Omdat de periode van de boventoon precies twee keer past in die van de grondtoon wordt de trilling periodiek. Maar omdat beide frequenties verschillen krijg je geen sinusoïde.

Gebruik GeoGebra, Desmos, of een GR en lees periode, amplitude, evenwichtsstand en horizontale verschuiving af.
Je vindt `f(x) ~~ 1,41 sin(x - 3,93)` .

Nulpunten als `x - 3,93 = k * pi` . De nulpunten zijn dus `(3,93 + k*pi; 0)` .

De extremen van `f` liggen op `y ~~ +-1,41` . De bijbehorende `x` -waarden zitten midden tussen de `x` -waarden van de nulpunten. Je krijgt dus maxima van `1,41` als `x ~~ 5,50 + k*2pi` en minima van `text(-)1,41` als `x ~~ 2,36 + k*2pi` .

`y = 1` geeft `sin(x - 3,93) ~~ 0,71` en dus `x ~~ 0,00 + k*2pi vv x ~~ 4,71 + k*2pi` .
De oplossing van de ongelijkheid is: `4,72 + k*2pi ≤ x ≤ 6,28 + k*2pi` .