Goniometrische functies > Goniometrische functiesVoorbeeld 2
Gegeven de functie
`f`
met voorschrift
`f(x)=2 cos^2(x)-1`
.
(Met
`cos^2(x)`
wordt
`(cos(x))^2`
bedoeld.)
Onderzoek of deze goniometrische functie periodiek is en bepaal dan de bijbehorende periode.
De standaard cosinusgrafiek heeft een periode van `2 π` . Het ligt dus voor de hand om de grafiek van `f` in beeld te brengen op bijvoorbeeld `[0, 2 π ]` . Die grafiek lijkt op een zuivere sinusoïde met periode `π` , amplitude `1` en evenwichtsstand `y=0` . Als je er een formule met `cos` bij wilt maken is de horizontale verschuiving `0` . Kortom: de grafiek lijkt op die van `y=cos(2 x)` .
Of dit echt het geval is, kun je (nog) niet aantonen. Wel kun je de nulpunten berekenen en kijken of die hetzelfde zijn als die van `y=cos(2 x)` .
`f(x)=0`
als
`2 cos^2(x)-1 =0`
, dus als
`cos(x)=1/2sqrt(2 ) ∨ cos(x)= text(-) 1/2sqrt(2 )`
.
Dit levert dezelfde waarden op als
`cos(2 x)=0`
oplossen.
Ga dat zelf na.
Bekijk Voorbeeld 2.
Maak zelf de grafiek van `f` en bepaal twee opeenvolgende toppen met een maximum.
Welke periode kun je hieruit afleiden voor de sinusoïde die lijkt te ontstaan?
Welke andere formule zou je bij deze sinusoïde kunnen opstellen?
Waarom weet je nog niet helemaal zeker dat de grafiek van `f` ook echt een sinusoïde is?
Gegeven de functie `f` met `f(x) = 2 sin(x) cos(x)` op `[0, 2pi]` .
Maak de grafiek van `f` .
Lijkt de grafiek op een sinusoïde? Zo ja, welke formule past er dan bij die sinusoïde?
Los op: `f(x) = 0,5` . Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
Gebruik nu de formule van de sinusoïde die je bij b hebt gemaakt en los exact op: `y = 0,5` . Komen deze antwoorden overeen met die bij c?
Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = 2x sin(x)` op `[0, 2pi]` .
Waarom kan hier geen sprake zijn van een sinusoïde?
Is dit een periodieke functie?
Beschrijf de regelmaat van de grafiek van `f` .