Goniometrische functies > Goniometrische functies
12345Goniometrische functies

Voorbeeld 2

Gegeven de functie `f` met voorschrift `f(x)=2 cos^2(x)-1` .
(Met `cos^2(x)` wordt `(cos(x))^2` bedoeld.)
Onderzoek of deze goniometrische functie periodiek is en bepaal dan de bijbehorende periode.

> antwoord

De standaard cosinusgrafiek heeft een periode van `2 π` . Het ligt dus voor de hand om de grafiek van `f` in beeld te brengen op bijvoorbeeld `[0, 2 π ]` . Die grafiek lijkt op een zuivere sinusoïde met periode `π` , amplitude `1` en evenwichtsstand `y=0` . Als je er een formule met `cos` bij wilt maken is de horizontale verschuiving `0` . Kortom: de grafiek lijkt op die van `y=cos(2 x)` .

Of dit echt het geval is, kun je (nog) niet aantonen. Wel kun je de nulpunten berekenen en kijken of die hetzelfde zijn als die van `y=cos(2 x)` .

`f(x)=0` als `2 cos^2(x)-1 =0` , dus als `cos(x)=1/2sqrt(2 ) ∨ cos(x)= text(-) 1/2sqrt(2 )` .
Dit levert dezelfde waarden op als `cos(2 x)=0` oplossen.
Ga dat zelf na.

Opgave 7

Bekijk Voorbeeld 2.

a

Maak zelf de grafiek van `f` en bepaal twee opeenvolgende toppen met een maximum.

b

Welke periode kun je hieruit afleiden voor de sinusoïde die lijkt te ontstaan?

c

Welke andere formule zou je bij deze sinusoïde kunnen opstellen?

d

Waarom weet je nog niet helemaal zeker dat de grafiek van `f` ook echt een sinusoïde is?

Opgave 8

Gegeven de functie `f` met `f(x) = 2 sin(x) cos(x)` op `[0, 2pi]` .

a

Maak de grafiek van `f` .

b

Lijkt de grafiek op een sinusoïde? Zo ja, welke formule past er dan bij die sinusoïde?

c

Los op: `f(x) = 0,5` . Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.

d

Gebruik nu de formule van de sinusoïde die je bij b hebt gemaakt en los exact op: `y = 0,5` . Komen deze antwoorden overeen met die bij c?

Opgave 9

Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = 2x sin(x)` op `[0, 2pi]` .

a

Waarom kan hier geen sprake zijn van een sinusoïde?

b

Is dit een periodieke functie?

c

Beschrijf de regelmaat van de grafiek van `f` .

verder | terug