Goniometrische functies > Goniometrische formules
12345Goniometrische formules

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Bekijk de figuur. De `x` -waarden van `P` en `P′` blijven gelijk ook als `α` verandert.

b

`sin(text(-) α)=text(-) sin(α)`

c

Ja, bijvoorbeeld `tan(text(-) α)=text(-) tan(α)` en `sin(π-α)=sin(α)` . En nog veel meer...

d

`sin^2(α)+ cos^2(α)=1`

Opgave 1
a

Maak zelf geschikte figuren, eenheidscirkels met zowel `alpha` als `text(-) alpha` . Bij de formule voor `tan(alpha)` maak je gebruik van `tan(alpha) = (sin(alpha))/(cos(alpha))` .

b

Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` en `1/2 pi - alpha` .

c

Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` , `alpha + 1/2 pi` en `alpha - 1/2 pi` .

Opgave 2
a

Je krijgt de grafiek `y=1` , dus je maakt zo aannemelijk dat `sin^2(x)+ cos^2(x)=1` .

De afleiding is een ander verhaal, daarbij pas je in `Delta OQP` de stelling van Pythagoras toe. Immers `|OP| = 1` .

b

Probeer beide situaties uit, het blijkt geen verschil te maken.

Opgave 3
a

Neem `alpha = x` en `beta = 1/6 pi` .
Dan is `sin(x + 1/6 pi) = sin(x)cos(1/6 pi) + cos(x)sin(1/6 pi)` en dus `sin(x + 1/6 pi) = sin(x)*1/2sqrt(3) + cos(x)*1/2` .

b

Neem `alpha = x` .
Dan is `sin(x + beta) = sin(x)cos(beta) + cos(x)sin(beta)` .

In de figuur zie je dat `sin(beta) = b/(sqrt(a^2 + b^2))` en `cos(beta) = a/(sqrt(a^2 + b^2))` .

c

Gebruik de formule die je bij c hebt gevonden en vermenigvuldig links en rechts met `sqrt(a^2 + b^2)` .

d

Gebruik de formule die je bij d hebt gevonden en neem `a=3` en `b=4` .

e

Gebruik de formule die je bij d hebt gevonden en neem `a=1` en `b=1` .

Opgave 4
a

Gebruik `cos(alpha + beta) = cos(alpha) cos(beta) - sin(alpha) sin(beta)` en neem `alpha = beta = x` .

b

`sin^2(x) + cos^2(x) = 1` schrijf je als `cos^2(x) = 1 - sin^2(x)` .

En dan: `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - sin^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x)` .

Opgave 5
a

Maak de grafiek met behulp van GeoGebra, Desmos, of een GR.

b

Gebruik `cos(2x) = 2cos^2(x) - 1` en schrijf dit als `cos^2(x) = 1/2 cos(2x) + 1/2` .

Je kunt dan het gegeven functievoorschrift herleiden: `f(x) = cos^2(x) = 1/2 cos(2x) + 1/2` .

`f(x) = 1/2 cos(2x) + 1/2` is een sinusoïde met amplitude `1/2` , periode `pi` en evenwichtsstand `y = 1/2` .

c

Je kunt kiezen van welke vorm van `f(x)` je gebruik maakt.

Bijvoorbeeld `cos^2(x) = 1` geeft `cos(x) = +-1` en dus `x = 0 + k* pi` .

Of `1/2 cos(2x) + 1/2 = 1` geeft `cos(2x) = 1` en dus `x = 0 + k* pi` .

Opgave 6

Omdat `cos(x - 1/2 pi) = cos(1/2pi - x) = sin(x)` kun je het functievoorschrift schrijven als `f(x) = 3 sin(x)` .

Opgave 7
a

Zie het Voorbeeld.
Met `a = 1 1/2` en `b = text(-)1/2 sqrt(3)` krijg je `sqrt(a^2+b^2) = sqrt(3) ~~ 1,73` en uit `tan(beta) = (text(-)1/2 sqrt(3))/(1 1/2)` volgt `beta ~~ text(-)0,52` rad.

b

`sin(x) + sin(x - 1/3 pi) = 1` wordt `1,73 sin(x - 0,52) = 1` .
Dit geeft `sin(x - 0,52) ~~ 0,577` zodat `x - 0,52 ~~ 0,62 vv x - 0,52 ~~ pi - 0,62` .

Dus `x ~~ 1,14 vv x ~~ 3,04` .

Opgave 8
a

`sin^2(x) = 0` als `sin(x) = 0` , dus als `x = 0 vv x=pi vv x=2pi` .

b

Gebruik `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` herleid dit tot `sin(x) = 1/2 - 1/2 cos(2x)` .

Dus `f(x) = text(-)1/2*cos(2x)+1/2` .

c

`text(-)1/2*cos(2x)+1/2 = 0` geeft `cos(2x) = 1` en dus `2x = 0 + k*2pi` .

Ook dit geeft `x = 0 vv x=pi vv x=2pi` .

d

`text(-)1/2*cos(2x)+1/2 = 1/2` geeft `cos(2x) = 0` en dus `x = 1/4 pi vv x = 3/4 pi vv x = 1 1/4pi vv x = 1 3/4 pi` .

Bekijk de grafiek en de ongelijkheid heeft als oplossing `1/4 pi lt x lt 3/4 pi vv 1 1/4 pi lt x lt 1 3/4 pi` .

Opgave 9
a

Breng `S(x)` op je rekenmachine in beeld, venster bijvoorbeeld `[0, 2pi]xx[text(-)1,5; 1,5]` .

b

Gebruik `sin(x - 1/4pi) = sin(x)cos(1/4pi) - cos(x)sin(1/4pi)` en
`sin(x + 1/4pi) = sin(x)cos(1/4pi) + cos(x)sin(1/4pi)` .

Hiermee wordt `S(x) = 2*sin(x)cos(1/4pi) = 2*sin(x)*1/2 sqrt(2) = sqrt(2) sin(x)` .

c

`sqrt2 sin(x) = 1` geeft `x = 1/4 pi + k*2pi vv x = 3/4pi + k*2pi` .
Oplossing ongelijkheid: `1/4 pi ≤ x ≤ 3/4 pi + k*2pi` .

Opgave 10

`sin(x) = cos(x)` geeft `(sin(x))/(cos(x)) = tan(x) = 1` .

`tan(x) = 1` als `x = 1/4pi + k*pi` .

Dus `x = 1/4pi vv x = 1 1/4pi` .

Opgave 11
a

`f(x) = 0` geeft `tan(x) = 1/4pi + k*pi`
Op het gegeven interval zijn de nulpunten: `x = 1/4 pi` en `x = 1 1/4 pi` .

b

De asymptoten zijn `x = 3/4 pi` en `x = 1 3/4 pi` .

c

`f(x) = 1` geeft `tan(x - 1/4 pi) = sqrt(3)` en dus `x - 1/4 pi = 1/3 pi + k*pi` .
Dus krijg je `x = 7/12 pi vv x = 1 7/12 pi` .
Oplossing ongelijkheid: `7/12 pi le x lt 3/4 pi vv 1 7/12 pi ≤ x lt 1 3/4 pi` .

Opgave 12
a

`f(x) = sin(x) + sin(x - 1/6pi)` .

`sin(x - 1/6pi) = sin(x)cos(1/6 pi) - cos(x)sin(1/6 pi) = 1/2 sqrt(3) sin(x) - 1/2 cos(x)` , dus:
`f(x) ~~ 1,87sin(x) - 0,5cos(x)` .

Gebruik vervolgens de formule `a*sin(x) + b*cos(x) = sqrt(a^2+b^2) sin(x+beta)` waarin `tan(beta) = b/a` .

De formule wordt dan: `f(x) ~~ 1,93 sin(x - 0,26)` .

b

`1,93 sin(x - 0,26) = 1` geeft `x ~~ 0,80 vv x ~~ 2,86 vv x ~~ 7,09 vv x ~~ 9,14` .
De oplossing van de ongelijkheid wordt `0 ≤ x ≤ 0,80 vv 2,86 ≤ x ≤ 7,09 vv 9,14 ≤ x ≤ 4pi` .

Opgave A1
a

De beginsnelheid `v_0` heeft twee componenten, namelijk `v_x = v_0 * cos(alpha)` en `v_y = v_0 * sin(alpha)` .

In de horizontale richting werkt er geen kracht op de kogel, er is dus in die richting sprake van een eenparige beweging. In de verticale richting werkt de zwaartekracht en is er sprake van een eenparig versnelde beweging.

b

`17,0 * t - 4,9 t^2 = 0` geeft `t(17,0 - 4,9 t) = 0` en dus `t=0 vv t ~~ 3,5` .

c

Vul `t ~~ 3,5` s en `alpha = 60^@` en `v_0 = 96` m/s in de formule voor `x(t)` in.
Je vindt `x ~~ 48` m.

d

`y=v_0 * sin(alpha) * t - 0,5 g t^2 = 0` geeft `t(v_0 * sin(alpha) - 0,5 g t) = 0` en dus `t=0 vv t = (2v_0 sin(alpha))/g` .

e

`y=v_0 * sin(alpha) * t - 0,5 g t^2 = 0` geeft `t(v_0 * sin(alpha) - 0,5 g t) = 0` en dus `t=0 vv t = (2v_0 sin(alpha))/g` .

Vul `t = (2v_0 sin(alpha))/g` in de formule voor `x(t)` in en gebruik de verdubbelingsformule `sin(2 alpha) = 2 sin(alpha) cos(alpha)` .

Opgave A2
a

`sin(2 alpha)` is maximaal `1` als `2 alpha = 1/2 pi` , dus als `alpha = 1/4 pi` .

b

`x = 300/(9,8) ~~ 30,6` m.

c

`x = v_0 * cos(alpha) * t` geeft `t = x/(v_0 cos(alpha))` .

Dit invullen in de formule voor `y` geeft:

`y = v_0 * sin(alpha) * x/(v_0 cos(alpha)) - 0,5 g (x^2)/((v_0 cos(alpha))^2)`

ofwel:

`y = tan(alpha) * x - (g)/(2v_0^2 cos^2(alpha)) * x^2`

En dat is een kwadratisch verband tussen `x` en `y` .

Opgave T1
a

Gebruik `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` en herleid dit tot: `1/2 cos(2x) - 1/2 = text(-)sin^2(x)` .

`f(x) = cos(2x) - sin^2(x) = cos(2x) + 1/2 cos(2x) - 1/2 = 1 1/2 cos(2x) - 1/2` .

b

`1 1/2 cos(2x) - 1/2 = 0` geeft `cos(2x) = 1/3` .
Dus `2x ~~ +- 1,23 + k*2pi` en `x ~~ +- 0,62 + k*pi` . De nulpunten zijn dus `(+-0,62; 0)` .

c

De maxima van `f` liggen op `y = 1` . De bijbehorende `x` -waarden zijn `x = 0 + k*pi` .

De minima van `f` liggen op `y = text(-)2` . De bijbehorende `x` -waarden zijn `x = 1/2 pi + k*pi` .

Opgave T2
a

`tan(x-pi)+1 = 0` geeft `tan(x-pi) = text(-)1` en dus `x = text(-)1/4pi + pi + k*pi` .
De nulpunten zijn `x=3/4pi vv x=1 3/4pi` .

b

`x=1/2 pi` en `x=1 1/2pi` .

c

`tan(x-pi)+1 = 2` geeft `tan(x-pi) = 1` en dus `x = 1/4pi + pi + k*pi` .
Dus `x=1/4pi vv x=1 1/4pi` .

Grafiek: `0 le x le 1/4 pi vv 1/2 pi lt x le 1 1/4pi vv 1 1/2pi lt x le 2pi` .

verder | terug