Goniometrische functies > Goniometrische formulesUitleg
Om eigenschappen van sinus, cosinus en tangens af te leiden moet je kijken naar hun definities in de eenheidscirkel:
`sin(α)=y_P`
`cos(α)=x_P`
`tan(α)= (y_P) / (x_P)`
In deze figuur zie je de hoeken `α` en `β=π -α` .
Omdat `∆OQP` en `∆OQ'P'` congruent zijn vanwege de symmetrie van de figuur geldt:
-
`sin(π-α)=sin(α)`
-
`cos(π-α)= text(-) cos(α)`
-
`tan(π-α)= text(-) tan(α)`
Kijk je alleen naar `∆OQP` dan zie je met de stelling van Pythagoras: `sin^2(α)+ cos^2(α)=1` .
Op deze wijze kun je allerlei formules voor sin, cos en tan afleiden.
Bijvoorbeeld:
`sin(text(-) α)= text(-) sin(α)`
,
`cos(text(-) α)=cos(α)`
en
`tan(text(-) α)= text(-) tan(α)`
.
Of:
`sin(1/2π-α)=cos(α)`
en
`cos(1/2π-α)=sin(α)`
.
Of:
`cos(α)=sin(α+1/2π)`
en
`sin(α)=cos(α-1/2π)`
.
Bekijk de symmetrieformules die in Uitleg 1 worden afgeleid.
Laat zelf zien, dat: `sin(text(-)alpha) = text(-)sin(alpha)` en `cos(text(-)alpha) = cos(alpha)` en `tan(text(-)alpha) = text(-)tan(alpha)` .
Laat zien, dat: `sin(1/2 pi - alpha) = cos(alpha)` en `cos(1/2 pi - alpha) = sin(alpha)` .
Laat ook zien dat: `cos(alpha) = sin(alpha + 1/2 pi)` en `sin(alpha) = cos(alpha - 1/2 pi)` .
Breng de grafiek van `y= sin^2(x)+ cos^2(x)` in beeld.
Welke formule heb je nu zichtbaar gemaakt? En hoe wordt die formule in Uitleg 1 afgeleid?
Maakt het daarbij verschil of je in graden of radialen werkt?