`x=sqrt(20 )` en `x=text(-) sqrt(20 )` .
Geen reële oplossingen.
Nee, er zijn `0` , `1` of `2` oplossingen.
Dit is een goede oefening. Maak een overzicht in de vorm van een "mindmap" .
Eerst `4` verschuiven in de `x` -richting, vervolgens met een `1/2` vermenigvuldigen in de `y` -richting en dan `text(-)4` in de `y` -richting verschuiven.
`(4, text(-)4)`
Een minimum van `text(-)4` .
Aan het getal waarmee je het kwadraat vermenigvuldigt. Als `a` is positief dan is er sprake van een dalparabool en heeft de functie dus een minimum. In dit geval is `a` positief en is er sprake van een minimum.
`f(x)= (x-2) ^2+1`
`g(x)=text(-) x^2+1`
`h(x)=text(-)0,48 (x-1,5) ^2+3`
`h(0) = 0,79 ~~ 0,80` m.
`h(12) = 1,99` m, dus dat moet lukken.
`text(-)0,01(x - 11)^2 + 2 = 0`
kun je oplossen door terugrekenen of de balansmethode te gebruiken. Je vindt dan
`x = 11 +- sqrt(200)`
.
Dus na
`11 + sqrt(200) ~~ 25,1`
m.
Oeps, hij is
"uit"
.
Door verschuiving van `text(-)1` in de `x` -richting, daarna vermenigvuldiging met `text(-)3` in de `y` -richting en tenslotte verschuiving van `5` in de `y` -richting.
De top `(0,0)` van `y=x^2` wordt met `text (-)1` in horizontale richting en met `5` in verticale richting verschoven.
Bergparabool met top `(text(-)1,5)` .
Die kun je niet oplossen, want de maximale uitkomst van `y = text(-)3(x+1)^2+5` is `5` .
Als `a` positief is, dan is het een dalparabool. Als `a` negatief is, dan is het een bergparabool.
Als `a` positief is heeft de grafiek een dal, dus een minimum. Als `a` negatief is, heeft de grafiek een piek, dus een maximum.
De grootte daarvan wordt weergegeven door `q` .
De top zit bij `x=p` .
Gebruik GeoGebra of de grafische rekenmachine.
Bedenk eerst dat de top van de grafiek
`(1, 5)`
is.
De grafiek van `f` wordt door de lijn `y=3` in twee punten gesneden.
De grafiek van `f` wordt door de lijn `y=text(-)8` niet gesneden.
De grafiek van `f` wordt door de lijn `y=text(-)5` precies in de top gesneden.
`x=10 ∨x=text(-)10`
`x=text(-)4 ∨x=12`
`x=text(-)6 ∨x=4`
`x=text(-)2 -sqrt(10 )∨x=text(-)2 +sqrt(10 )`
`x=text(-)sqrt(5) vv x=sqrt(5)`
Snijpunt `y` -as: `f(0) = text(-)30` , dus `(0, text(-)30)` .
Snijpunten `x` -as: `x^2 - x - 30 = 0` , geeft `(x - 6)(x + 5) = 0` , dus `x = text(-)5 vv x = 6` en dus krijg je `(text(-)5, 0)` en `(6, 0)` .
Voor de symmetrieas geldt `x = (6 + text(-)5)/2 = 0,5` , dus de top is `(0,5; text(-)30,25)` .
`5x^2 - 10x = 40` geeft `x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) = 0` , dus `x = text(-)2 vv x = 4` .
`x(x-6) = 7` geeft `x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1) = 0` , dus `x = text(-)1 vv x = 7` .
`7x(x-6) = 0` geeft `7x = 0 vv x-6 = 0` , dus `x = 0 vv x = 6` .
`(x + 3)(x + 6) = 18` geeft `x^2 + 9x = x(x + 9) = 0` , dus `x = text(-)9 vv x = 0` .
`text(-)0,5(x - 40)^2 + 3 = 2` geeft `(x - 40)^2 = 2` , dus `x = 40 +- sqrt(2)` .
`(x - 3)^2 = (2x - 1)^2` geeft `x - 3 = 2x - 1 vv x - 3 = text(-)2x + 1` , dus `x = text(-)2 vv x = 4/3` .
verschuiving van `text(-)8` in de `x` -richting;
met `2` vermenigvuldigen in de `y` -richting;
verschuiving van `6` in de `y` -richting.
Top `(text(-)8, 6)` .
De top is `(text(-)8, 6)` en het is een dalparabool.
De grafiek ontstaat uit `y=x^2` door een verschuiving van `4` naar links en `5` omhoog. De top verschuift mee; deze komt op `(text(-)4,5)` te liggen.
Max. `f(text(-)4 )=5`
`text(-)2 (x+4) ^2+5 =text(-)5` geeft `(x+4)^2 = 5` en dus `x = sqrt(5)-4 vv x=text(-)sqrt(5)-4` .
`text(-)2(x+4)^2+5 = 5` geeft `(x+4)^2 = 0` en dus `x=text(-)4` .
`text(-)2(x+4)^2+5 = text(-)11` geeft `(x+4)^2 = 8` en dus `x=sqrt(8)-4 vv x=text(-)sqrt(8)-4`
Dalend voor `x gt text(-)2` .
`text(-)3(x+2)^2+10 = 0` geeft `(x + 2)^2 = 10/3` , dus `x = - 2 +- sqrt(10/3)` en `x~~text(-)3,83 vv x~~text(-)0,17`
`x^2 - 8x + 7 = (x - 7)(x - 1) = 0` , geeft `x = 1 vv x = 7` .
`(x + 2)(2x + 1) = 2` geeft `2x^2 + 5x = x(2x+5) = 0` en dus `x = 0 vv x = text(-)2,5` .
`(x + 2)(2x + 1) = 0` geeft `x + 2 = 0 vv 2x + 1 = 0` en dus `x = text(-)2 vv x = text(-)0,5` .
`x(x + 2) = 2x + 4` geeft `x^2 - 4 = 0` en dus `x = text(-)2 vv x = 2` .
`h(0) = text(-)0,06(0-5)^2 + 4 = 2,5` m.
Los op:
`h(x)=3,05`
.
Dat geeft
`x ~~1,02 ∨ x ≈ 8,98`
.
De speler staat ongeveer `8,98` meter voor de basket.
Snijpunt
`y`
-as:
`f(0) = 90`
, dus
`(0, 90)`
.
Snijpunten
`x`
-as:
`f(x) = text(-)x^2 + x + 90 = 0`
geeft
`x^2 - x - 90 = (x - 10)(x + 9) = 0`
en dus
`x = text(-)9 vv x = 10`
. Dus
`(text(-)9, 0)`
en
`(10, 0)`
.
Symmetrieas `x = (text(-)9 + 10)/2 = 0,5` , dus top `(0,5; 90,25)` .
Omdat dit de horizontale component van `vec(v)` is.
Dit is de verticale component van `vec(v)` , maar in die richting telt ook de zwaartekracht mee.
De eerste formule kun je schrijven als
`t = x/(v_0 * cos(alpha))`
.
Dit kun je invullen in de andere formule:
`y = sin(alpha) * x/(cos(alpha)) - 1/2 * g * (x^2)/(v_0^2 cos^2(alpha))`
.
`y(x) = sqrt(3) * x - 1/2 * 9,81 * (x^2)/225 ~~ 1,73x - 0,0218x^2`
`1,73x - 0,0218x^2 = 0` geeft `x = 0 vv x ~~ 79,36` , dus na `79,36` m.
Als je de hoek veranderd naar
`45^@`
dan wordt de formule
`y(x) ~~ 1x - 0,0109x^2`
.
Dan komt de kogel na ongeveer
`91,74`
m op de grond.
Maar je moet de hoek niet te klein maken...
Bergparabool met top `(0 , text(-)2)` , dus de functie heeft een maximum.
Dalparabool met top `(4, 8)` , dus de functie heeft een minimum.
Bergparabool met top `(text(-)9 , 0 )` , dus de functie heeft een maximum.
`x=4 ∨x=6`
`x=5`
`x=text(-)5 ∨x=text(-)3`
Snijpunten met de
`x`
-as:
`(2, 0)`
en
`(6, 0)`
.
Snijpunt met de
`y`
-as:
`(0, 6)`
.
min. `f(4) = 4`