Voor piramides en kegels.

Je moet dan aannemen dat het grondvlak een cirkel met straal `r` is.
Voor de oppervlakte van dat grondvlak geldt dan `G = pi r^2` .

Als je een dwarsdoorsnede van de twee kegels (waar het koffiebekertje het verschil van is) tekent, dan krijg je twee gelijkvormige gelijkbenige driehoeken. De éne driehoek heeft een basis van `64` mm en een hoogte van `90+h` mm. De andere driehoek heeft een basis van `46` mm en een hoogte van `h` mm.
Uit de gelijkvormigheid volgt dat de verhouding van de twee basissen en de twee hoogtes gelijk zijn.

Uit `46/64 = h/(h+90)` volgt `23/32(h+90) = h` en dus `23h + 2070 = 32h` .
Dit betekent `9h = 2070` zodat `h=230` mm.

Zie Uitleg 1.

In de formule voor de inhoud `V = 1/3 pi r^2 h` worden zowel `r` als `h` verdubbeld.
De inhoud wordt dan `V = 1/3 pi * (2r)^2 * 2h = 1/3 pi * 8r^2 h = 8* 1/3 pi r^2 h` .

Voor kubussen, balken, prisma's en cilinders.

Je moet dan aannemen dat het grondvlak een cirkel met straal `r` is.
Voor de oppervlakte van dat grondvlak geldt dan `G = pi r^2` .

`V = 6*6*6 = 216` cm³.

Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met basis `6` cm en hoogte `sqrt(6^2-3^2) ~~ 5,2` cm.

De oppervlakte van het grondvlak van het prisma is `1/2*6*5,2 ~~ 15,6` cm².

De inhoud van het prisma is `15,6*6 ~~ 93,5` cm³.

De oppervlakte van het grondvlak van de cilinder is `pi*3^2 ~~ 28,3` cm².

De inhoud van de cilinder is `28,3*6 ~~ 169,6` cm³.

De inhoud van de bol is `4/3 pi * 3^3 ~~ 113,1` cm³.

Een kegelmantel is een "taartpunt" een deel van een cirkel, een cirkelsector.

`A = pi R^2` .

Het `(2pi r)/(2pi R) = r/R` -de deel van `pi R^2` is `r/R * pi R^2 = pi * (r R^2)/R = pi rR` .

Reken de antwoorden in Uitleg 2 na.

In de formule voor de oppervlakte van een kegelmantel `A = pi rR` worden zowel `r` als `R` verdubbeld.
In de formule voor de oppervlakte van een cirkel `A = pi r^2` wordt `r` verdubbeld, dus `r^2` wordt `2^2 = 4` keer zo groot.

Ja, alleen is zo'n uitslag nogal moeilijk te maken en is de oppervlakte ervan moeilijk te bepalen. Hiervoor gebruik je de formule uit de Theorie.

Je moet dan aannemen dat het grondvlak en het bovenvlak een cirkel met straal `r` is.
Voor de oppervlakte van elk van die vlakken geldt dan `G = pi r^2` .
De cilindermantel is een rechthoek van `2pi r` bij `h` en heeft dus een oppervlakte van `2pi rh` .

`A = 2*6*5 + 2*6*4 + 2*5*4 = 148` cm².

Het grondvlak is een gelijkzijdige driehoek met basis `6` cm en hoogte `sqrt(6^2-3^2) ~~ 5,2` cm.

De oppervlakte van het grondvlak van het prisma is `1/2*6*5,2 ~~ 15,6` cm².

De totale oppervlakte van het prisma is `15,6*2 + 6*6*3 ~~ 139,2` cm³.

De oppervlakte van de cilinder is `2*pi*3*6 + 2*pi*3^2 ~~ 169,6` cm².

De oppervlakte van de bol is `4*pi*3^2 ~~ 113,1` cm².

`EF = sqrt(32)` , `DF = 5` en `DE = sqrt(33)` .

Cosinusregel: `32 = 25 + 33 - 2 * 5 * sqrt(33) * cos(/_EDF)` .

Dus: `cos(/_EDF)= (text(-)26) / (text(-)10sqrt(33)) ≈ 0,4526` , zodat `/_EDF~~63^@` .

Hoogtelijn `ES` heeft een lengte van `sqrt(33)*sin(63^@) ~~ 5,1` .

De oppervlakte van `Delta DEF` is ongeveer `1/2*5*5,1~~12,8` .

`~~ 12,8 + 1/2*4*4 + 3*4 + 1/2*3*4 + 2*4 + 1/2 * 4 *4 = 54,8` .

Het prisma `ABC.EGH` heeft inhoud `1/2 * 4 * 4 * 2 = 16` .

De piramide `E.GHFD` heeft inhoud `1/3 * (1*4 + 1/2 * 3*4) * 4 = 40/3` .

Het totale volume is `22 2/3` .

Halve kegel: Het gaat hier om een halve kegelmantel, een halve grondcirkel en een driehoek. Dus de oppervlakte is `1/2*pi *1,5 *sqrt(1,5^2+3^2)+1/2*pi *1,5^2+1/2*3*3≈15,94` m².

Kwart bol: Het gaat hier om een kwart van een boloppervlak en tweemaal een halve grondcirkel. Dus de oppervlakte is `1/4*4 pi *1,5^2+2 *1/2*pi *1,5^2=4,5 pi ≈14,14` m².

Diabolo: Het gaat hier om twee dezelfde afgeknotte kegels plus de oppervlakte van de twee grondcirkels met een straal van `1,5` m.

Dus de oppervlakte is `2 *(pi *1,5 *sqrt(1,5^2+2,25^2)-pi *0,5 *sqrt(0,5^2+0,75^2))+2 *pi *1,5^2≈36,79` m².

inhoud (halve kegel)  `=1/2*1/3 pi *1,5^2*3 =1,125 pi` m³
inhoud (kwart bol)  `=1/4*4/3pi *1,5^3=1,125 pi` m³
inhoud (diabolo)  `=2 *(1/3pi *1,5^2*2,25 -1/3pi *0,5^2*0,75 )=3,25 pi` m³

Het schilddak bestaat uit twee trapezia `ABEF` en `CDEF` en twee gelijkbenige driehoeken `BCF` en `ADE` .

De hoogte van de driehoek is `sqrt(3^2+5^2)=sqrt(34)` m. Dus de oppervlakte van de driehoek is `1/2*8*sqrt(34)=4sqrt(34)` m².

De hoogte van het trapezium is `sqrt(5^2+4^2)=sqrt(41)` m. Dus de oppervlakte van het trapezium is dan `1/2*(12+6)*sqrt(41)=9sqrt(41)` m².

In totaal vind je dan voor de oppervlakte van het schilddak:
`=2 *1/2*8 *sqrt(34 )+2 *1/2*(12 +6 )*sqrt(41 )=8 sqrt(34 )+18 sqrt(41 )` m²

Het gaat het gemakkelijkst als je het schilddak in drie delen verdeelt: een driehoekig prisma op zijn kant en aan weerszijden twee gelijke halve piramides. Beide halve piramides kun je samenvoegen tot één piramide.

Inhoud driehoekig prisma: `1/2*8*5*6=120` m³.

De samengevoegde piramide heeft een grondvlak van `8` m bij `3+3=6` m en een hoogte van `5` m. De inhoud van de samengevoegde piramide is dan: `1/3*8*6*5=80` m³

Het totale volume onder het schilddak is dan `120+80=200` m³.

De tent bestaat uit een afgeknotte kegel (onderste deel van de tent) en een hele kegel (bovenste deel van de tent).

oppervlakte (bovenste deel) `=pi*1,5*sqrt(1,5^2+1^2)` m².

oppervlakte (onderste deel) `=pi*2*sqrt(2^2+12^2)-pi*1,5*sqrt(1,5^2+9^2)` m².

Dit bij elkaar optellen levert de totale oppervlakte:

oppervlakte (hele tent) `=pi *1,5 *sqrt(1,5^2+1^2)+pi *2 *sqrt(2^2+12^2)-pi *1,5 *sqrt(1,5^2+9^2))≈41,93`  m².

inhoud (bovenste deel) `=1/3pi *1,5^2*1=3/4 pi` m³.

inhoud (onderste deel) `=1/3pi *2^2*12 -1/3pi *1,5^2*9=9 1/4 pi` m³.

Dit bij elkaar optellen levert de totale inhoud:

`1/3pi *2^2*12 -1/3pi *1,5^2*9 +1/3pi *1,5^2*1 =10 pi` m³.

Twee rechthoeken, elk met een oppervlakte van `2 * sqrt(1^2 + 1,5^2) ~~ 3,61` m².

Het grondzeil met oppervlakte `2*2 + 2* 1/2*2*1,2 = 6,2` m².

Vier driehoeken met zijden van `sqrt(1^2 + 1,5^2)=sqrt(3,25)` , `sqrt(1,2^2 + 1,5^2)=sqrt(3,69)` en `sqrt(1^2 + 1,2^2)=sqrt(2,44)` .

Om van zo'n driehoek de oppervlakte te berekenen moet je een hoogte uitrekenen en daarvoor is een hoek nodig.
Cosinusregel: `(sqrt(3,25))^2 = (sqrt(3,69))^2 + (sqrt(2,44))^2 - 2*sqrt(3,25)*sqrt(2,44)*cos(alpha)` geeft `alpha ~~ 61,3^@` .
Een hoogte van zo'n driehoek is daarom `h ~~ sqrt(3,69)*sin(61,3^@) ~~ 1,685` m.
De oppervlakte van zo'n driehoek is ongeveer `1/2*sqrt(2,44)*1,685~~1,32` m².

Totale oppervlakte aan tentdoek: `~~ 2*3,61 + 6,2 + 4*1,32 ~~ 18,68` m³.

Middendeel is een prisma met een volume van `1/2*2*1,5*2 = 3` m³.

Voor- en achterkant vormen één piramide met volume `1/3 * (2 * 1/2 * 2 * 1,2) * 1,5 = 1,2` m³.

De inhoud van de tent is `3 + 1,2 = 4,2` m³.

Dan is de hoogte van de vloeistofkegel precies `0,5` keer die van de hele kegel.
Bij een vergroting met factor `0,5` wordt een inhoud dan met `0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125` vermenigvuldigd.
De cocktail beslaat `12,5` % van de inhoud van het glas.

Dan is de inhoud van de vloeistofkegel precies `0,5` keer die van de hele kegel.
Bij een volumevergroting met factor `0,5` wordt een lengte met `root[3](0,5) ~~ 0,79` vermenigvuldigd.
De vloeistofspiegel staat dan `0,79*10 = 7,9` cm boven de bodem van het glas.

De verhouding is `25:16` .

De inhoud is `433019` m³.

Je kunt dit in de formule aflezen. Als de vergrotingsfactor in oppervlakte `900` is, wordt de spanwijdte dus `sqrt(900)=30` keer groter (of kleiner). Vul in de formule `30b` in waar `b` staat, en `900A` waar `A` staat, dan krijg je `(30b)^2/(900A)=b^2/A` . De slankheid blijft dus hetzelfde.

De volumevergrotingsfactor is `768000/(1,5)=512000` .

Dit geeft een lengtevergrotingsfactor van `root3(512000)=80` . De topsnelheid van het model zou dus `100/80=1,25` km/h moeten zijn.

De massa's en vluchthoogte die corresponderen met de onderdelen van het model worden weergegeven met kleine letters, en die van de werkelijke raket met hoofdletters. Dus:

`H=c*(M_1-M_2)` en `h=c*(m_1-m_2)` , ofwel `H/h=(M_1-M_2)/(m_1-m_2)`

Je weet dat de massa's die bij de onderdelen van het model horen met een bepaalde factor `v` verschillen van de werkelijkheid: `m_1=v*M_1` en `m_2=v*M_2` . Zo krijg je:

`H/h=(c*v*(m_1-m_2))/(c*(m_1-m_2))` , ofwel `H/h=100000/250=400=v`

Het volume (en dus ook de massa) van de werkelijke raket is dus een factor `400` groter dan die van het model. De massa van de werkelijke raket is dus `400*125=50000`  kg.

`1/1000`  ste deel van jouw eigen gewicht.

`1/100` ste deel.

De energiebehoefte van de mens varieert sterk van persoon tot persoon. Verder is er verschil tussen mannen en vrouwen. Stel dat je gemiddeld ongeveer `500` gram per dag eet.
Een Lilliputter moet dan ongeveer `1/100*500 =5` gram per dag eten.

Zie vorige antwoord bij c. Stel dat jij `80` kg weegt en `500` g per dag eet, dan eet je `0,625` % van je eigen lichaamsgewicht per dag. De Lilliputter weegt `1/1000*80 =0,08` kg, dus `80` gram. Hij moet `6,25` % van zijn lichaamsgewicht per dag eten, dus naar verhouding `10` keer zoveel!

Omdat dit recht evenredig is met de oppervlakte van het lichaam en de oppervlaktevergrotingsfactor is `l^2` .

De voedselbehoefte is recht evenredig met `l^2` en het lichaamsgewicht met `l^3` , dus de voedselbehoefte per kg is recht evenredig met `root3 (l^2)` , ofwel `l^(2/3)` .

`(14 * 14 * 8 - 1/2 * 4/3 * pi * 5,5^3) * 2,1 ~~ 2561` gram.

`2*14*14 + 4 * 14 * 8 - pi * 5,5^2 + 1/2 * 4pi * 5,5^2 ~~ 935` cm².

`~~ 13,9` m.

`~~ 88659` kg.