Meetkunde in 3D > Oppervlakte en inhoudUitleg
|
|
Dit kartonnen koffiebekertje heeft (ongeveer) de vorm van een afgeknotte kegel. Van een bepaald koffiebekertje is de diameter van de bodem `46` mm, die van de bovencirkel `64` mm en de hoogte `90` mm.
Die afmetingen bepalen hoeveel er in kan, de inhoud van het bekertje.
Om die uit te rekenen gebruik je de formule voor de inhoud van een kegel.
inhoud(kegel) `= 1/3 pi r^2 h` .
Hierin is `r` de straal (de halve diameter) en `h` de hoogte van de kegel.
Voor de inhoud van het bekertje trek je als het ware twee kegels van elkaar af: een kegel met hoogte
`h`
en diameter
`46`
mm trek je af van een kegel met hoogte
`h + 90`
en diameter
`64`
mm.
Omdat beide kegels gelijkvormig zijn is
`46/64 = h/(h+90)`
waaruit volgt: `h = 230` mm.
De inhoud van de koffiebeker is daarom `1/3*pi *32^2*320 -1/3*pi *23^2*230 ≈215733` mm3.
De inhoud van een koffiebeker waarvan alle afmetingen `2` keer zo groot zijn is `2^3=8` keer zo groot.
Bekijk het koffiebekertje in Uitleg 1.
Er is een categorie figuren waarvan je het volume berekent
`V`
met de formule
`V = 1/3*G*h`
als
`G`
de oppervlakte van het grondvlak en
`h`
de hoogte is.
Voor welke figuren geldt deze formule?
Waarom geldt voor een kegel `V = 1/3 pi r^2 h` ? Welke aanname moet je dan doen?
Leg uit waarom geldt: `46/64 = h/(h+90)` .
Laat zien dat `h=230`
Bereken tenslotte zelf het volume van het koffiebekertje.
Leg uit waarom een koffiebeker waarvan alle afmetingen `2` keer zo groot zijn, een `8` keer zo grote inhoud heeft.
Er is een categorie figuren waarvan je het volume berekent `V` met de formule `V = G*h` als `G` de oppervlakte van het grondvlak en `h` de hoogte is.
Voor welke figuren geldt deze formule?
Waarom geldt voor een cilinder `V = pi r^2 h` ? Welke aanname moet je dan doen?
Bereken de inhoud van een kubus waarvan alle ribben `6` cm lang zijn.
Bereken de inhoud van een driezijdig prisma waarvan alle ribben `6` cm lang zijn.
Bereken het volume van een cilinder met diameter `6` cm en hoogte `6` cm.
Bereken het volume van een bol met diameter
`6`
cm.
Zoek eventueel de formule voor de inhoud van een bol op in de Theorie.