Meetkunde in 3D > Oppervlakte en inhoudUitleg
|
|
Het kartonnen koffiebekertje van Uitleg 1 is een afgeknotte kegel met diameter van de bodem `46` mm, die van de bovencirkel `64` mm en hoogte `90` mm.
Die afmetingen bepalen hoeveel karton er voor het bekertje nodig is.
Om dat uit te rekenen gebruik je de formule voor de oppervlakte van een kegel.
oppervlakte(kegelmantel) `= pi r R` .
Hierin is
`r`
de straal (de halve diameter) en
`R`
de straal van de kegelmantel (een deel van een cirkel).
Er geldt:
`R=sqrt(r^2+h^2)`
.
Voor de oppervlakte van het bekertje trek je als het ware twee kegelmantels van elkaar af: een kegelmantel met straal
`sqrt(230^2+23^2)~~231`
en kegelstraal
`23`
mm trek je af van een kegelmantel met straal
`sqrt(320^2 + 32^2)~~322`
en kegelstraal
`32`
mm.
De oppervlakte van de mantel van de koffiebeker is daarom `pi *32*322 - pi *23*231 ≈15628` mm2.
De totale oppervlakte van de koffiebeker is `≈15628 + pi*23^2~~ ` ` 17290` mm2.
De oppervlakte van een koffiebeker waarvan alle afmetingen `2` keer zo groot zijn is `2^2 = 4` keer zo groot.
In Uitleg 2 wordt de oppervlakte van het koffiebekertje berekend.
Daarbij gebruik je de formule voor de oppervlakte van een kegelmantel.
Welke vorm heeft een kegelmantel?
De formule oppervlakte(kegelmantel)
`= pi r R`
kun je zelf afleiden.
Bedenk dat de kegelmantel een deel is van een cirkel met straal
`R`
.
Hoe groot is de oppervlakte van zo'n cirkel?
De kromme rand van de kegelmantel heeft een lengte van
`2pi r`
.
De hele cirkel waar de kegelmantel een deel van is heeft een omtrek van
`2pi R`
.
Welk deel van de hele cirkel is de kegelmantel?
Leid nu zelf de formule voor de oppervlakte van de kegelmantel af.
Bereken met die formule zelf de oppervlakte van het koffiebekertje.
Leg uit waarom een koffiebeker waarvan alle afmetingen `2` keer zo groot zijn, een `4` keer zo grote oppervlakte heeft.
De oppervlakte van een ruimtelijke figuur is de oppervlakte van de uitslag van zo'n figuur.
Geldt dit ook voor een bol?
Hoe kom je aan de formule `A = 2pi rh + 2pir^2` voor de oppervlakte van een cilinder met straal `r` en hoogte `h` ? Welke aanname moet je dan doen?
Bereken de oppervlakte van een bal waarvan de ribben `6` , `5` en `4` cm lang zijn.
Bereken de oppervlakte van een driezijdig prisma waarvan alle ribben `6` cm lang zijn.
Bereken de oppervlakte van een cilinder met diameter `6` cm en hoogte `6` cm.
Bereken de oppervlakte van een bol met diameter `6` cm.