Plaats en beweging > Lijnen en snijpuntenVoorbeeld 3
Twee punten
`P`
en
`Q`
bewegen in een cartesisch
`Oxy`
-assenstelsel. Beide banen zijn rechte lijnen. Op
`t = 0`
zit
`P`
in
`(0, 1)`
en
`Q`
in
`(text(-)2, 6)`
. Op
`t = 6`
zit
`P`
in
`(6, 3)`
en
`Q`
in
`(4, 0)`
. Beide banen snijden elkaar in punt
`S`
.
Bereken de exacte coördinaten van dit punt en licht toe waarom beide punten niet met elkaar in botsing komen.
Je kunt van beide banen een vectorvoorstelling opstellen:
-
Punt `P(x, y)` ligt op lijn `l` met:
`((x),(y)) = ((0),(1)) + t*((1),(1/3))` en dus `x = t` en `y = 1 + 1/3 t` . -
Punt `Q(x, y)` ligt op lijn `m` met:
`((x),(y)) = ((text(-)2),(6)) + t*((1),(text(-)1))` en dus `x = text(-)2 + t` en `y = 6 - t` .
Denk er op dat je beide richtingsvectoren nu niet mag vergroten of verkleinen!
Als je een waarde van `t` zoekt waarvoor beide punten op dezelfde plek zitten (botsen), dan moet `t = text(-)2 + t` en `1 + 1/3 t = 6 - t` . En dat levert geen mogelijke waarde voor `t` op.
Toch hebben beide banen een snijpunt. Dat kun je op diverse manieren berekenen:
-
Kies in de vectorvoorstelling (of parametervoorstelling) van `m` een andere letter voor de parameter en los het stelsel vergelijkingen dat hoort bij het snijpunt van beide banen exact op.
-
Maak van beide parametervoorstellingen vergelijkingen in `x` en `y` en bereken daarmee het gevraagde snijpunt.
-
Maak van één van beide parametervoorstellingen een vergelijking in `x` en `y` en vul daarin de parametervergelijkingen van de andere lijn in.
In Voorbeeld 3 wordt het snijpunt van de banen van twee bewegende punten berekend.
Laat zien hoe je aan de twee vectorvoorstellingen komt.
Waarom mogen de richtingsvectoren nu niet worden verlengd of verkort?
Bereken het snijpunt van beide banen door in de vectorvoorstelling van `m` de parameter `t` te vervangen door `s` en `t = text(-)2 + s ^^ 1 + 1/3 t = 6 - s` op te lossen.
Je kunt ook eerst vergelijkingen maken van beide lijnen. Bereken het snijpunt ook op deze manier.
En bereken tenslotte het snijpunt nog eens vanuit een vergelijking van de éne lijn en een parametervoorstelling van de andere.
Bereken exact het snijpunt van de lijnen `p` en `q` in de volgende gevallen.
`l: 2x - y = 12` en `m: ((x),(y)) = ((1),(2)) + t*((2),(5))` .
`l: ((x),(y)) = ((0),(5)) + t*((2),(text(-)1))` en `m` door `x = 1 + s` en `y = 3s` .
In een cartesisch assenstelsel bewegen de punten `A` en `B` over de lijnen `l` en `m` . Op `t = 0` zit `A` in `(1, 4)` en `B` in `(text(-)1, 0)` . Op `t = 4` zit `A` in `(6, 3)` en `B` in `(4, 1)` .
Stel de vectorvoorstellingen van `l` en `m` op.
Waarom botsen deze punten nu wel tegen elkaar?
Bereken de coördinaten van het botsingspunt.
Laat zien dat je dit punt ook kunt berekenen vanuit twee vergelijkingen van `l` en `m` .