Plaats en beweging > Hoeken en inproductVoorbeeld 3
Twee punten
`P`
en
`Q`
bewegen in een cartesisch
`Oxy`
-assenstelsel. Beide banen zijn rechte lijnen. Op
`t = 0`
zit
`P`
in
`(0, 1)`
en
`Q`
in
`(text(-)2, 6)`
. Op
`t = 6`
zit
`P`
in
`(6, 3)`
en
`Q`
in
`(4, 0)`
. Beide banen snijden elkaar in punt
`S`
.
Bereken de hoek die beide lijnen met elkaar maken.
Je kunt van beide banen een vectorvoorstelling opstellen:
-
Punt `P(x, y)` ligt op lijn `l` met:
`((x),(y)) = ((0),(1)) + t*((1),(1/3))` . -
Punt `Q(x, y)` ligt op lijn `m` met:
`((x),(y)) = ((text(-)2),(6)) + t*((1),(text(-)1))` .
Met behulp van het inproduct van beide richtingsvectoren kun je de hoek tussen beide banen berekenen:
`((1),(1/3))*((1),(text(-)1)) = 1*1 + 1/3 * text(-)1 = sqrt(1^2 + (1/3)^2) * sqrt(1^2 + (text(-)1)^2) * cos(varphi)`
geeft
`2/3 = sqrt(2 2/9)*cos(varphi)` en dus `varphi ~~ 63,4^@` .
In Voorbeeld 1 zie je hoe je vectoren kunt optellen en aftrekken en vermenigvuldigen met een getal. Daarin zijn gegeven de vectoren `vec (a)=((1),(2))` en `vec (b)=((3),(text(-)1))` .
Teken de vector `2 vec(a)` en bepaal de kentallen ervan.
Teken de vector `2 vec(a)+1,5vec(b)` en bepaal de kentallen ervan.
Teken de vector `text(-)2 vec(b)` en bepaal de kentallen ervan.
Teken de verschilvector van `text(-)vec(a)` en `vec(b)` en bepaal de kentallen ervan.
Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel de punten `A(3, 4)` en `B(5, 2)` en de vectoren `vec(a) = vec(OA)` en `vec(b) = vec(OB)` .
Laat zien dat `vec(AB) = vec(b) - vec(a)` .
Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel de punten `A(a_x, a_y)` en `B(b_x, b_y)` en de vectoren `vec(a) = vec(OA)` en `vec(b) = vec(OB)` .
Laat zien dat `vec(AB) = vec(b) - vec(a)` .