Algebra

Algebra > Machten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Elk van jouw vijf vrienden stuurt ook weer vijf brieven.
$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5$ is het aantal brieven dat de vrienden van jouw vrienden versturen.

$5^{4} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$

$5^{4} \cdot 5^{2} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{6}$

$5^{6} / 5^{2} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 / (5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 / 5 / 5 = 5^{4}$

Je bent in de achtste ronde precies twee keer zoveel rondes verder dan in de vierde ronde.
Uitschrijven kan ook: ${(5^{4})}^{2} = {(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5)}^{2} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{8}$ .

${(5^{4})}^{6} = 5^{24}$

Opgave V2

$5^{10} = 9765625$ , dus bijna $9,8$ miljoen euro voor je goede doel!

Al in de tiende ronde heb je alle Nederlanders en alle Belgen wel gehad. En zelfs als je de hele wereldbevolking mee wilt laten doen is het al vrij snel gebeurd.

$5^{10} \approx 9,77 \cdot 10^{6}$

$5^{14} \approx 6,1 \cdot 10^{9}$ en de wereldbevolking is ongeveer $7$ miljard mensen. Dus in ronde 14, want in ronde 15 heb je alweer vijf keer zoveel.

Opgave 1

$5^{200} / 5^{198} = 5^{200 - 198} = 5^{2} = 25$

$\frac{19^{121} \cdot {(19^{50})}^{2}}{19^{220}} = \frac{19^{121} \cdot 19^{100}}{19^{220}} = \frac{19^{221}}{19^{220}} = 19^{1} = 19$

$5^{0} = 5^{3 - 3} = \frac{5^{3}}{5^{3}} = 1$

$3^{- 6} = 3^{0 - 6} = \frac{3^{0}}{3^{6}} = \frac{1}{3^{6}}$

${(15^{14})}^{10} \cdot 15^{108} / 15^{250} = 15^{140} \cdot 15^{108} / 15^{250} = 15^{248} / 15^{250} = 15^{- 2} = \frac{1}{225}$

Opgave 2

$a^{5} \cdot a^{2} = a^{5 + 2} = a^{7}$

$3 a^{5} \cdot 4 a^{2} = 12 a^{7}$

$3 a^{5} / 4 a^{2} = \frac{3}{4} a^{3}$

${(3 a^{5})}^{4} = 81 a^{20}$

${(- 2 a^{3})}^{4} \cdot a^{3} / {(- 2 a^{5})}^{3} = 16 a^{15} / (- 8 a^{15}) = - 2$

Opgave 3

Wetenschappelijke notatie: $4 \cdot 10^{7}$ m.

Technische notatie: $40 \cdot 10^{6}$ m.

Wetenschappelijke notatie: $1 \cdot 10^{- 9}$ m.

Technische notatie: $1 \cdot 10^{- 9}$ m.

$\frac{40 \cdot 10^{6}}{1 \cdot 10^{- 9}} = 40 \cdot 10^{6 - - 9} = 40 \cdot 10^{15}$

Opgave 4

$6 a^{5} b^{2} \cdot 2 a^{3} b = 12 a^{8} b^{3}$

$\frac{6 a^{5} b^{2}}{2 a^{3} b} = 3 a^{2} b$

${(4 a)}^{2} - 4 a^{2} = 16 a^{2} - 4 a^{2} = 12 a^{2}$

$a^{3} \cdot 2 b + 2 {(a b)}^{2} = 2 a^{3} b + 2 a^{2} b^{2}$

$8 a^{3} \cdot 2 a b^{2} - {(2 a^{2} b)}^{2} = 16 a^{4} b^{2} - 4 a^{4} b^{2} = 12 a^{4} b^{2}$

$\frac{2 a \cdot {(- 2 b)}^{3}}{b^{2} \cdot 4 a b} = \frac{- 16 a b^{3}}{4 a b^{3}} = - 4$

Opgave 5

$2 p^{3} (1 - 6 p^{2}) = 2 p^{3} - 12 p^{5}$

$(x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = x^{4} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 = x^{4} - 3 x^{2} - 4$

${(y^{3} - 2)}^{2} = y^{6} - 4 y^{3} + 4$

$4 k^{2} (k + 3) - 2 k (k^{2} - 4) = 4 k^{3} + 12 k^{2} - 2 k^{3} + 8 k = 2 k^{3} + 12 k^{2} + 8 k$

${(4 + 3 k^{2})}^{2} - (k^{2} - 1) (k^{2} + 1) = 16 + 24 k^{2} + 9 k^{4} - k^{4} + 1 = 8 k^{4} + 24 k^{2} + 17$

${(p + 1)}^{3} = {(p + 1)}^{2} (p + 1) = (p^{2} + 2 p + 1) (p + 1) = p^{3} + 3 p^{2} + 3 p + 1$

Opgave 6

$2 k^{4} + 6 k^{3} = 2 k^{3} (k + 3)$

$a^{2} b^{3} - 4 a^{3} b^{5} = a^{2} b^{3} (1 - 4 a b^{2})$

Nu kun je (nadat je de GGD buiten haakjes hebt gehaald) ook nog de som-en-productmethode toepassen.
$x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4) = x (x - 2) (x + 2)$

$24 a^{2} - 8 a^{3} + 2 a^{4} = 2 a^{2} (12 - 4 a + a^{2}) = 2 a^{2} (a^{2} - 4 a + 12) = 2 a^{2} (a - 6) (a + 2)$

Opgave 7

Loop nu de oplossing van de vier voorbeelden na. Bekijk vooral het werken met de machten van $10$ .

$a \cdot d = 36 \cdot 10^{12} \cdot 900 \cdot 10^{- 9} = 32,4 \cdot 10^{6}$

$a - b = 36 \cdot 10^{12} - 1,2 \cdot 10^{12} = 34,8 \cdot 10^{12}$

$b^{3} = {(1,2 \cdot 10^{12})}^{3} = 1,728 \cdot 10^{36}$

Omdat $c$ ten opzichte van $a$ verwaarloosbaar klein is.

Opgave 8

$\frac{1}{1,5 \cdot 10^{8}} = \frac{2}{3} \cdot 10^{- 8} \approx 6,7 \cdot 10^{- 9}$ AE. (Denk er om dat je antwoorden ook in de wetenschappelijke notatie moeten staan en dat veel decimalen of exacte waarden nu onzinnig zijn.)

$5,2 \cdot 1,5 \cdot 10^{8} = 7,8 \cdot 10^{8}$

$\frac{5,9 \cdot 10^{9}}{1,5 \cdot 10^{8}} \approx 3,9 \cdot 10 = 39$ AE.

Het licht legt in een jaar ongeveer $365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \cdot 3 \cdot 10^{5} \approx 9,46 \cdot 10^{12}$ km af. Dat is ongeveer $63072$ AE.

Opgave 9

$\frac{8^{60} \cdot 2^{200}}{4^{192}} = \frac{{(2^{3})}^{60} \cdot 2^{200}}{{(2^{2})}^{192}} = \frac{2^{380}}{2^{384}} = 2^{- 4} = \frac{1}{2^{4}} = \frac{1}{16}$

Opgave 10

$3 p^{2} q^{3} \cdot - 2 p q^{2} = - 6 p^{3} q^{5}$

$\frac{3 p^{2} q^{3}}{- 2 p q^{2}} = - 1,5 p q$

${(3 k^{2})}^{3} + 2 k^{2} \cdot k^{3} - 2 k^{2} \cdot 5 k^{4} = 17 k^{6} + 2 k^{5}$

$3 a^{2} (a b^{2} - 2 b) - 2 a b (a^{2} b - a) = 3 a^{3} b^{2} - 6 a^{2} b - 2 a^{3} b^{2} + 2 a^{2} b = a^{3} b^{2} - 4 a^{2} b$

${(x^{3} + 5)}^{2} - x^{2} \cdot x^{4} = 10 x^{3} + 25$

$\frac{2 a^{2} b + 3 a b^{2}}{2 a b} = \frac{2 a^{2} b}{2 a b} + \frac{3 a b^{2}}{2 a b} = a + 1,5 b$

$p^{5} (p^{2} - 4) (p^{2} + 1) = p^{5} (p^{4} - 3 p^{2} - 4) = p^{9} - 3 p^{7} - 4 p^{5}$

$2 x {(3 y^{2})}^{3} - 2 x y \cdot y^{5} = 52 x y^{6}$

Opgave 11

$12 k^{6} - 18 k^{3} = 6 k^{3} (2 k^{3} - 3)$

$4 a b^{3} + 12 a^{2} b - 4 a b = 4 a b (b^{2} + 3 a - 1)$

$x^{5} - x^{4} - 2 x^{3} = x^{3} (x^{2} - x - 2) = x^{3} (x - 2) (x + 1)$

$4 x - 8 x^{2} + 4 x^{3} = 4 x (x^{2} - 2 x + 1) = 4 x {(x - 1)}^{2}$

Opgave 12

$12 \cdot 1,66 \cdot 10^{- 24} = 19,92 \cdot 10^{- 24} \approx 19,9 \cdot 10^{- 24}$ gram.

Uit ongeveer $\frac{12}{19,9 \cdot 10^{- 24}} \approx 60,2 \cdot 10^{24}$ atomen. (Dit getal is de constante van Avogadro.)

Allebei ongeveer $60,2 \cdot 10^{24}$ atomen.

Ongeveer $\frac{10^{3}}{18 \cdot 1,66 \cdot 10^{- 24}} \approx 3,35 \cdot 10^{25} \approx 33,5 \cdot 10^{24}$ .

Opgave 13

Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

Opgave A1

$2^{9} = 512$

$2^{63}$ .

Ongeveer $9,22 \cdot 10^{18}$ .

Ongeveer $0,065 \cdot 9,22 \cdot 10^{18} = 0,5993 \cdot 10^{18} \approx 5,99 \cdot 10^{17}$ gram en dat is ongeveer $5,99 \cdot 10^{14}$ kg.

Je moet er dan $9,22 \cdot 10^{16}$ cm³ graan in kwijt kunnen. De hoogte wordt dan $9,22 \cdot 10^{16} / 25 = 3,69 \cdot 10^{15}$ cm en dat is $3,69 \cdot 10^{10}$ km oftwel $36$ miljard km.

Opgave A2

$1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{9} = 1023$

Daar komt ook $1023$ uit.

Stel $s = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{62} + 2^{63}$ , dan is $2 s = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{62} + 2^{63} + 2^{64}$ . Daaruit volgt $s = 2 s - s = 2^{64} - 1$ .

Opgave T1

`25a^3 b^4 * 10 ab^3 = 250a^4 b^7`

`(25a^3 b^4)/(10 ab^3) = 2,5a^2 b`

`(2a^3 - 4b)^2 = 4a^6 - 16a^3 b + 16b^2`

`(x^4 - 2)(5 + x^4) = x^8 + 3x^4 - 10`

Opgave T2

`3p^5 - 6p^4 = 3p^4(p - 2)` .

`3p^5 - 6p^4 - 24p^3 = 3p^3(p - 4)(p + 2)` .

verder | terug