Vergelijkingen

Vergelijkingen > Balansmethode

123456Balansmethode

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Een balans is een apparaat om een gewicht te meten door twee schalen in evenwicht te brengen. Je legt het gewicht op de linker schaal en maakt evenwicht door op de rechter schaal voldoende standaardgewichten te plaatsen. Door te kijken hoeveel standaardgewichten er nodig zijn bepaal je het gewicht van dat voorwerp.
Een weegschaal hoeft niet over twee schaaltjes te beschikken, maar kan ook werken met een veer die wordt ingedrukt.

Als je bij een vergelijking aan de linkerzijde en de rechterzijde van het isgelijkteken hetzelfde optelt, aftrekt dan blijft het evenwicht bewaard. Hetzelfde geldt voor links en rechts met hetzelfde (uitgezonderd het getal $0$ ) vermenigvuldigen of door hetzelfde delen.

Opgave V2

Links ligt $2 g + 21$ gram.
Rechts ligt $6 g + 5$ gram.
Er geldt dus $2 g + 21 = 6 g + 5$ .
Dit los je op door aan beide zijden $2$ blikjes weg te halen. Je krijgt $21 = 4 g + 5$ . Dan haal je aan beide zijden $5$ gram weg: $16 = 4 g$ . Dus $g = 16 / 4 = 4$ .

Opgave 1

$5 g + 6$	$=$	$3 g + 9$	beide zijden $- 6$
$5 g$	$=$	$3 g + 3$	beide zijden $- 3 g$
$2 g$	$=$	$3$	beide zijden $/ 2$
$g$	$=$	$3 / 2 = 1,5$

$5 g + 6$	$=$	$8 g - 18$	beide zijden $- 6$
$5 g$	$=$	$8 g - 24$	beide zijden $- 8 g$
$- 3 g$	$=$	$- 24$	beide zijden $/ - 3$
$g$	$=$	$- 24 / - 3 = 8$

$- 2,5 g + 14$	$=$	$8 g - 19$	beide zijden $- 14$
$- 2,5 g$	$=$	$8 g - 33$	beide zijden $- 8 g$
$- 10,5 g$	$=$	$- 33$	beide zijden $/ - 10,5$
$g$	$=$	$- 33 / - 10,5 = \frac{22}{7}$

$- 2,5 g - 19$	$=$	$8 g - 14$	beide zijden $+ 19$
$- 2,5 g$	$=$	$8 g + 5$	beide zijden $- 8 g$
$- 10,5 g$	$=$	$5$	beide zijden $/ - 10,5$
$g$	$=$	$5 / - 10,5 = - \frac{10}{21}$

Opgave 2

`2x^2 + 5`	`=`	`55`	beide zijden $- 5$
`2x^2`	`=`	`50`	beide zijden $/ 2$
`x^2`	`=`	`25`	beide zijden worteltrekken
`x`	`=`	`5 vv x = text(-)5`

Bij de uitdrukking links van het isgelijkteken hoort de kwadratische functie `y_1 = 2x^2 + 5` .
De grafiek daarvan is een dalparabool, die twee `x` -waarden heeft waarbij `y=55` .

Door ze in de vergelijking voor `x` te substitueren en na te gaan of de berekening dan klopt.

Opgave 3

`1/2 x^2 + 3`	`=`	`8`	beide zijden $- 3$
`1/2 x^2`	`=`	`5`	beide zijden $/ 0,5$
`x^2`	`=`	`10`	beide zijden worteltrekken
`x`	`=`	`sqrt(10) vv x = text(-)sqrt(10)`

`1/2 x^2 + 3`	`=`	`x^2`	beide zijden `- 1/2 x^2` en omwisselen
`1/2 x^2`	`=`	`3`	beide zijden `*2`
`x^2`	`=`	`6`	beide zijden worteltrekken
`x`	`=`	`sqrt(6) vv x = text(-)sqrt(6)`

`1/2 x^3 + 3`	`=`	`8`	beide zijden $- 3$
`1/2 x^3`	`=`	`5`	beide zijden $/ 0,5$
`x^3`	`=`	`10`	beide zijden derdemachts worteltrekken
`x`	`=`	`root[3](10)`

Opgave 4

Omdat de onbekende $x$ zowel links als rechts van het isgelijkteken voorkomt.

Je wilt alle breuken in één klap laten verdwijnen. Je vermenigvuldigt daarom met het kleinste getal waar zowel $2$ , als $3$ en $6$ (de noemers van de breuken) een deler van zijn.

In beide gevallen komt er hetzelfde uit, namelijk $\frac{23}{62}$ . (Je moet met breuken rekenen, anders kun je de antwoorden nooit eerlijk vergelijken.)

Door alle gevonden waarden voor de variabele links en rechts van het isgelijkteken te substitueren. Je moet dan twee keer dezelfde uitkomst krijgen.

Opgave 5

$7 x - 15$	$=$	$4 x - 3$	beide zijden $+ 15$
$7 x$	$=$	$4 x + 12$	beide zijden $- 4 x$
$3 x$	$=$	$12$	beide zijden $/ 3$
$x$	$=$	$12 / 3 = 4$

$0,7 - 0,2 x$	$=$	$1 - 0,6 x$	beide zijden `xx 10`
$7 - 2 x$	$=$	$10 - 6 x$	beide zijden $+ 6 x$
$7 + 4 x$	$=$	$10$	beide zijden $- 7$
$4 x$	$=$	$3$	beide zijden $/ 4$
$x$	$=$	$3 / 4 = 0,75$

$\frac{1}{5} x + 2$	$=$	$0,3 x - 3$	beide zijden `xx 10`
$2 x + 20$	$=$	$3 x - 30$	beide zijden $- 20$
$2 x$	$=$	$3 x - 50$	beide zijden $- 3 x$
$- x$	$=$	$- 50$	beide zijden $/ - 1$
$x$	$=$	$- 50 / - 1 = 50$

$\frac{1}{3} x - 1$	$=$	$\frac{x + 4}{5}$	beide zijden `xx 15`
$5 x - 15$	$=$	$3 x + 12$	beide zijden $+ 15$
$5 x$	$=$	$3 x + 27$	beide zijden $- 3 x$
$2 x$	$=$	$27$	beide zijden $/ 2$
$x$	$=$	$27 / 2 = 13,5$

Opgave 6

Doen.

Je hoeft niet precies hetzelfde te hebben gedaan om toch een goede oplossing te hebben.

Opgave 7

$5 (x + 2)$	$=$	$2 x + 15$	haakjes uitwerken
$5 x + 10$	$=$	$2 x + 15$	beide zijden $- 10$
$5 x$	$=$	$2 x + 5$	beide zijden $- 2 x$
$3 x$	$=$	$5$	beide zijden $/ 3$
$x$	$=$	$5 / 3 = \frac{5}{3}$

$\frac{x - 3}{4}$	$=$	$\frac{x - 5}{2}$	beide zijden `xx 4`
$x - 3$	$=$	$2 (x - 5)$	haakjes uitwerken
$x - 3$	$=$	$2 x - 10$	beide zijden $+ 3$
$x$	$=$	$2 x - 7$	beide zijden $- 2 x$
$- x$	$=$	$- 7$	beide zijden $/ - 1$
$x$	$=$	$- 7 / - 1 = 7$

$\frac{2}{5} x + 1$	$=$	$\frac{1}{3} (x + 5)$	beide zijden `xx 15`
$6 x + 15$	$=$	$5 (x + 5)$	haakjes uitwerken
$6 x + 15$	$=$	$5 x + 25$	beide zijden $- 15$
$6 x$	$=$	$5 x + 10$	beide zijden $- 5 x$
$x$	$=$	$10$

$1 - \frac{2}{3} p$	$=$	$\frac{1}{7} (2 - p)$	beide zijden `xx 21`
$21 - 14 p$	$=$	$3 (2 - p)$	haakjes uitwerken
$21 - 14 p$	$=$	$6 - 3 p$	beide zijden $+ 14 p$
$21$	$=$	$6 + 11 p$	beide zijden $- 6$
$15$	$=$	$11 p$	beide zijden $/ 11$
$p$	$=$	$15 / 11 = \frac{15}{11}$

$x - \frac{1}{4} (x + 3) + \frac{3}{4}$	$=$	$0$	beide zijden `xx 4`
$4 x - (x + 3) + 3$	$=$	$0$	haakjes uitwerken en samennemen
$3 x$	$=$	$0$	beide zijden $/ 3$
$x$	$=$	$0 / 3 = 0$

Opgave 8

Eerst haakjes uitwerken geeft $2 x + 8 = x - 4 + x$ en dus $2 x + 8 = 2 x - 4$ . Als je nu aan beide zijden $2 x$ aftrekt, dan vind je $8 = - 4$ en dat klopt niet. Deze vergelijking heeft geen oplossingen.

Eerst haakjes uitwerken geeft $2 x - 4 = x - 4 + x$ en dus $2 x - 4 = 2 x - 4$ . Nu staat aan beide zijden precies hetzelfde. Welke getal je nu voor $x$ kiest, altijd krijg je links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde. Deze vergelijking heeft oneindig veel oplossingen: elk reëel getal is oplossing van deze vergelijking.

Opgave 9

Doen.

Eigen antwoord.

Dat er bij terugrekenen vanuit een kwadraat vaak twee waarden mogelijk zijn.

Bijvoorbeeld $x = 3 + \sqrt{120}$ geeft: $0,5 {(3 + \sqrt{120} - 3)}^{2} - 10 = 0,5 {\sqrt{120}}^{2} - 10 = 0,5 \cdot 120 - 10 = 50$ .

Opgave 10

$5 {(x + 10)}^{2} + 50$	$=$	$70$	beide zijden $- 50$
$5 {(x + 10)}^{2}$	$=$	$20$	beide zijden $/ 5$
${(x + 10)}^{2}$	$=$	$4$	terugrekenen vanuit een kwadraat
$x + 10$	$=$	$\pm \sqrt{4} = \pm 2$	beide zijden $- 10$
$x$	$=$	$\pm 2 - 10$

De oplossing is daarom `x = text(-)12 vv x = text(-)8` .

$10 - x^{2}$	$=$	$3 x^{2}$	beide zijden $+ x^{2}$
$10$	$=$	$4 x^{2}$	beide zijden $/ 4$
$x^{2}$	$=$	$2,5$	terugrekenen vanuit een kwadraat
$x$	$=$	$\pm \sqrt{2,5}$

Een manier is:

$10 - {(x - 1)}^{2}$	$=$	$5$	beide zijden $- 10$
$- {(x - 1)}^{2}$	$=$	$-5$	beide zijden $\cdot - 1$
${(x - 1)}^{2}$	$=$	$5$	terugrekenen vanuit een kwadraat
$x - 1$	$=$	$\pm \sqrt{5}$	beide zijden $+ 1$
$x$	$=$	$1 \pm \sqrt{5}$

Dus de oplossing is `x = 1 + sqrt(5) vv x = 1 - sqrt(5)` .

Opgave 11

Je krijgt $4 x = 17$ en dus $x = \frac{17}{4}$ .

Haakjes uitwerken geeft $5 x - 4 = 15 - 3 x$ en daaruit volgt $8 x = 19$ en $x = \frac{19}{8}$ .

Terugrekenen geeft $x = 1500$ .

Haakjes uitwerken geeft $20 + 2 x = - x + 10$ zodat $3 x = - 10$ en $x = - \frac{10}{3}$ .

Haakjes uitwerken geeft $7 x - 3 = 11$ en $x = 2$ .

Eerst links en recht met $6$ vermenigvuldigen geeft $10 - 2 x = - 3 (x + 6)$ , dus $10 - 2 x = 3 x - 18$ . Hieruit volgt $x = - 28$ .

Je vindt ${(x - 5)}^{2} = 2$ en dus $x = 5 \pm \sqrt{2}$ .

Haakjes uitwerken geeft $x^{2} - 10 x + 25 = 5 + x^{2}$ en dus $10 x = 20$ en $x = 2$ .

Opgave 12

Haakjes uitwerken geeft $4 - x = 6 x - 14$ en dus $7 x = 18$ en $x = \frac{18}{7}$ .

Haakjes uitwerken geeft $2 x - 4 = 2 + 2 x$ en daaruit volgt $- 4 = 2$ . Deze vergelijking heeft geen oplossing.

Beide zijden met $4$ vermenigvuldigen geeft $6 x - 10 = 6 x - 10$ . Nu kun je voor $x$ elk reëel getal invullen.

Terugrekenen geeft ${(x - 2)}^{2} = - 1$ . Omdat $- 1$ van geen enkel getal het kwadraat kan zijn heeft deze vergelijking geen oplossingen.

Terugrekenen geeft ${(x - 2)}^{2} = 1$ en dus $x = 2 \pm 1$ . Dus de oplossing is $x = 1$ en/of $x = 3$ .

Opgave 13

Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

Opgave 14

$5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$

Omdat het twee opeenvolgende gehele getallen moeten zijn. De éne is onbekend, bijvoorbeeld $x$ en de andere moet dan precies $1$ meer zijn. De zijde met lengte $x + 1$ is de hypothenusa, want de langste zijde.

$x^{2} + 5^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Haakjes uitwerken geeft $x^{2} + 25 = x^{2} + 2 x + 1$ en dus $2 x + 1 = 25$ . Inderdaad is daarvan $x = 12$ de enige oplossing.

Opgave A1

Eigen antwoord.

Het middelste hek heeft dan lengte $4 - x$ . En het kleinste hek is $3 - x$ .

Deze twee hekken zijn samen $2,5$ m, dus $4 - x + 3 - x = 2,5$ .

$4 - x + 3 - x = 2,5$ geeft $7 - 2 x = 2,5$ . Daaruit vind je $x = 2,25$ m.
De hekken zijn $2,25$ m, $1,75$ m en $0,75$ m.

Opgave A2Leeftijdenprobleem

Leeftijdenprobleem

Myrthe is $91 - x$ .

Myrthe is $91 - x$ . Toen Joop $91 - x$ was, was Myrthe $26$ jaar.
Hun leeftijdsverschil is niet veranderd: $x - (91 - x) = 91 - x - 26$ .

Je vindt door haakjes uitwerken $x = 52$ .
Dus Joop is 52 en Myrthe is 39 jaar oud.

Opgave A3Gebroken mast

Gebroken mast

Stel bijvoorbeeld $A B = x$ .

Als $A B = x$ dan is $B P = B T = 10 - x$ .
Even Pythagoras opgraven: $3^{2} + x^{2} = {(10 - x)}^{2}$ .
Dit geeft $100 - 20 x = 9$ en dus $x = 91 / 20 = 4,55$ . Punt $B$ zit $4,55$ m boven de grond.

De vergelijking bij b geeft $100 - 20 x = 9$ en dus $x = 91 / 20 = 4,55$ . Punt $B$ zit $4,55$ m boven de grond.

Opgave T1

`(x - 4)/6 = 1/3 x + 2` betekent `x - 4 = 2x + 12` , dus `x = text(-)16` .

`0,1(x + 5)^2 = x + 15` betekent `(x+5)^2 = 10x + 150` en `x^2 + 10x + 25 = 10x + 150` zodat `x^2 = 125` en `x = +-sqrt(125)` .

`1/2 sqrt(x - 5) + 4 = 22` betekent `1/2 sqrt(x - 5) = 18` en `sqrt(x - 5) = 36` .
Dit geeft `x - 5 = 36^2` , zodat `x = 36^2 + 5 = 1301` .

Opgave T2

Je kunt nooit `x^2` en `5x` samennemen, die termen zijn niet gelijksoortig.

Bijvoorbeeld door grafieken te gebruiken en de snijpunten daarvan op te zoeken.

Werk met inklemtabellen, of gebruik GeoGebra of de GR.

`x = 6 vv x = text(-)1` .

verder | terug