Meetkundige berekeningen > Lengtes in 3DAntwoorden van de opgaven
Bijvoorbeeld van `∆ ABF` . Of van `∆ AFE` .
De stelling van Pythagoras in `∆ ABF` geeft: `AF^2=6^2+6^2=72` en dus is `AF=sqrt(72 )≈8,49` .
Alle zijvlaksdiagonalen zijn even lang, dus `AE=sqrt(72 )≈8,49` .
Bijvoorbeeld van `∆ ACG` . Of van `∆ AGE` . Maar ook van `∆ AFG` en `∆ AGD` .
De stelling van Pythagoras in `∆ ACG` geeft: `AG^2=6^2+ (sqrt(72 )) ^2=108` en dus is `AG=sqrt(108 )≈10,39` .
In `∆ ABC` , de rechte hoek is `∠B` .
In `∆ ACG` , de rechte hoek is `∠C` .
Bereken eerst de lengte van
`DE`
de rechthoekige driehoek
`ADE`
. Hiervoor geldt de stelling van Pythagoras:
`AD^2 + AE^2 = DE^2`
`DE^2 = 3^2 + 2^2`
`DE = sqrt(13) ~~ 3,61`
.
Vervolgens kun je de lengte van het lichaamsdiagonaal
`DF`
in
`∆ EFD`
berekenen.
`DE^2 + EF^2 = DF^2`
`13 + 5^2 = DF^2`
`DF = sqrt(38) ~~ 6,16`
.
`AF^2 = AB^2 + BF^2`
`AF^2 = 20^2 + 5^2 = 425`
geeft
`AF = sqrt(425) ≈ 20,6`
cm.
Zijn route is een rechte lijn van `A` naar `G` op de uitslag van de balk. Teken eventueel de uitslag.
Hiervoor geldt
`AG^2 = AH^2 + HG^2`
.
`AG^2 = 20^2 + 15^2 = 625`
geeft
`AG = sqrt(625) = 25`
cm.
Zijn route is een rechte lijn van
`A`
naar
`G`
dwars door de balk, dus een lichaamsdiagonaal.
`AC^2 = 20^2 + 10^2 = 500`
geeft
`AC = sqrt(500)`
cm.
En dan is
`AG^2 = (sqrt(500))^2 + 5^2 = 525`
dus
`AG = sqrt(525) ≈ 22,9`
cm.
Teken deze balk. Gebruik eventueel roosterpapier.
Begin met het berekenen van
`AC`
:
`AB^2 + BC^2 = AC^2`
.
Dit geeft
`5,5^2 + 4,0^2 = AC^2`
en dus
`AC^2 = 46,25`
.
Neem nu de rechthoekige driehoek
`ACG`
.
Hierin geldt
`AC^2 + CG^2 = AG^2`
, dus
`46,25 + 9,5^2 = AG^2`
.
Dit geeft
`AG^2 = 136,5`
en dus
`AG = sqrt(136,5) ~~ 11,7`
cm.
Omdat je
`AC^2`
al weet en die heb je nodig voor de volgende stap.
Als je
`AC`
gaat benaderen en dan weer gaat kwadrateren, krijg je misschien afrondingsfouten.
Eerst reken je de lengte uit van een diagonaal van de bodem van het bakje:
`sqrt(15^2 + 15^2) = sqrt(450)`
cm.
De diagonaal in het grondvlak recht onder het rietje, het rietje zelf en het onderste stuk
`a`
van de opstaande ribbe waar het rietje tegen aan ligt, vormen een rechthoekige driehoek. Daarin is
`(sqrt(450))^2 + a^2 = 23^2`
. En dus is de gevraagde hoogte
`a = sqrt(79) ≈ 8,9`
cm. Ongeveer
`9`
cm dus, veel nauwkeuriger antwoorden hebben niet veel zin.
`h^2 + 0,3^2 = 1,2^2` geeft `h = sqrt(1,35) ≈ 1,16` m.
Driehoek `AMT` met de rechte hoek bij `M` .
Of: driehoek `BMT` met de rechte hoek bij `M` .
Ga na, dat je hetzelfde vindt als in het voorbeeld.
Driehoek `MST` met de rechte hoek bij `S` .
In
`Delta MST`
geldt:
`MS^2 + TS^2 = MT^2`
.
Dus
`2^2 + TS^2 = 32`
, zodat
`TS^2 = 32 - 2^2 = 28`
en
`TS = sqrt(28)`
, net als in het voorbeeld.
Je kunt bijvoorbeeld gebruik maken van `Delta AST` . Die driehoek is rechthoekig bij `S` .
Eerst reken je dan in `Delta AMS` de lengte van `AS^2` uit: `AS^2 = 2^2 + 2^2 = 8` .
En dan gebruik je:
`AS^2 + TS^2 = AT^2`
.
Dit levert op:
`8 + TS^2 = 6^2`
en dus weer
`TS^2 = 28`
en
`TS = sqrt(28)`
.
Teken eerst het vierkante grondvlak `ABCD` met zijden van `4` cm.
Teken op elk van die zijden een gelijkbenige driehoek met een hoogte die gelijk is aan de lengte van `TM` . Of maak deze driehoeken met behulp van de passer en de ribben van `6` cm.
In `Delta ABC` is `6^2 + 4^2 = AC^2` , dus `AC^2 = 52` .
In `Delta ACE` is `AC^2 + AE^2 = EC^2` , dus `52 + 3^2 = EC^2` zodat `EC = sqrt(61) ~~ 7,81` .
Bereken eerst een diagonaal van de vloer van de lift en daarmee de lichaamsdiagonaal.
De diagonaal van de vloer bedraagt
`sqrt(1,5^2 + 2^2) = 2,5`
.
Vervolgens kun je de lichaamsdiagonaal
`l`
berekenen:
`l^2 = 2,5^2 + 2,5^2`
`l = sqrt(12,5) = 3,5`
.
Je vindt ongeveer `3,5` m.
De linker en rechter zijvlaksdiagonalen van de lift zijn allebei
`z`
m lang.
Er geldt
`2^2+2,5^2 = 10,25 = z^2`
, dus
`z = sqrt(20) ≈ 3,20`
m.
Dat is langer dan
`3,15`
m, dus het kan.
Het deel van het rietje binnen het glas is de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van
`13`
cm en
`10`
cm.
Voor de lengte
`l`
van dit deel van het rietje geldt
`10^2 + 13^2 = l^2`
, dus
`l = sqrt(269) ≈ 16,4`
cm.
Er steekt dus nog
`7,6`
cm van het rietje buiten het glas.
De vloer is een vierkant met zijden van
`sqrt(50)`
m.
Dan is
`AC^2 = (sqrt(50))^2 + (sqrt(50))^2 = 100`
, dus
`AC = sqrt(100) = 10`
.
En dus geldt voor de gevraagde hoogte
`TS^2 + 5^2 = 10^2`
, zodat
`TS = sqrt(75) ≈ 8,67`
m.
De diameter van de tunnel is ook de diagonaal van de rechthoek. Door de diagonaal te tekenen ontstaat er een rechthoekige driehoek met de diagonaal als hypotenusa. `8,70^2 = 6,75^2 + h^2`
`h^2 = 8,70^2 - 6,75^2 = 30,1275`
`h = sqrt(30,1275) ≈ 5,49` m.
De oppervlakte van het vooraanzicht is `π * 4,35^2 ≈ 59,45` m2. De oppervlakte van de rechthoek is `6,75 * 5,49 ≈ 37,06` m2. Dus is `22,39` van de `59,45` m2 niet voor het verkeer bestemd. Dat is ongeveer `38` %.
Bereken alle drie de zijden van de driehoek en controleer of de stelling van Pythagoras hierin klopt.
Je weet dat
`HG = 200`
en
`HP = GP`
.
Bereken eerst
`PC`
.
`PC^2 = 100^2 + 80^2`
`PC = sqrt(16400) ~~ 128,06`
Je kunt dan
`GP`
bereken uit
`∆ PCG`
.
`PC^2 + GC^2 = GP^2`
`(sqrt(16400))^2 + 60^2 = GP^2`
`GP = sqrt(20000) ~~ 141,42`
.
Controle:
`200 = sqrt((sqrt(20000))^2 + (sqrt(20000))^2) = sqrt(40000)`
.
Deze driehoek is rechthoekig.
De driehoeken `ADT` , `BDT` en `CDT` .
In
`Delta ADT`
geldt:
`AD^2 + DT^2 = AT^2`
.
Dus
`AT^2 = 36^2 + 20^2 = 1696`
, zodat
`AT ~~ 41,2`
cm.
In
`Delta CDT`
geldt:
`CD^2 + DT^2 = CT^2`
.
Dus
`CT^2 = 40^2 + 20^2 = 2000`
, zodat
`CT ~~ 44,7`
cm.
De grensvlakken `ADT` , `BDT` en `CDT` zijn halve rechthoeken waarvan je de lengte en de breedte weet. En dit geldt ook voor de grensvlakken `ABT` en `BCT` . Want `/_ BAT` en `/_ BCT` zijn ook rechte hoeken.
In
`Delta ABD`
geldt:
`AD^2 + AB^2 = BD^2`
.
Dus
`BD^2 = 36^2 + 40^2 = 2896`
.
In
`Delta BDT`
geldt:
`BD^2 + DT^2 = BT^2`
.
Dus
`BT^2 = 2896 + 20^2 = 3296`
, zodat
`BT ~~ 57,4`
cm.
De diameter is ongeveer `40000/π ≈ 12732` , dus de straal is ongeveer `6366` km.
De tunnel zou in het midden maar liefst `2` km diep komen te liggen!
De hoogte is `sqrt(450)~~21` mm.
`AG = sqrt(50) = 7,07`
`AG = sqrt(50) ~~ 7,07`