De vergelijking $b(100-2b)=0$ bestaat uit twee factoren die vermenigvuldigt $0$ opleveren. Daarom kun je de vergelijking meteen splitsen in $b=0\vee 100-2b=0$.

Zie tabel. Maak er een grafiek bij.

De symmetrieas is $x=25$.
Het getal $25$ is het gemiddelde van de $x$-waarden van de nulpunten.

Vul $x=25$ in de formule in en je krijgt $A=1250$. De maximale oppervlakte van het landje is dus $1250$ m².

`0,5(x - 2)(x - 6) = 0` geeft `(x - 2)(x - 6) = 0` en dus `x = 2 vv x = 6` .

De nulpunten zijn `(2, 0)` en `(6, 0)` .

Deze lijn ligt midden tussen beide nulpunten in. Het gemiddelde van $2$ en $6$ is $4$.

$x=4$ invullen geeft $y=\text{-}2$. De top is `(4, text(-)2)` .

Hij gaat door de nulpunten en de top. Voor de volledigheid kun je nog enkele andere $x$-waarden invullen om een nette grafiek te krijgen.

Ontbinden geeft: $y=(x-2)(x-3)$.
$(x-2)(x-3)=0$ geeft $x=2\vee x=3$.

De nulpunten zijn $(2,0)$ en $(3,0)$.

$x=\mathrm{2,5}$.

$x=\mathrm{2,5}$ invullen geeft $y=\text{-}\mathrm{0,25}$. De top is $(\mathrm{2,5};\mathrm{-0,25})$.

Hij gaat door de nulpunten en de top. Voor de volledigheid kun je nog enkele andere $x$-waarden invullen om een nette grafiek te krijgen.

Doen.

$T(\mathrm{0,5};\mathrm{1,25})$

Nulpunten: $(2,0)$ en $(5,0)$.
Symmetrieas: $x=\mathrm{3,5}$.
Top: $T(\mathrm{3,5};\text{-}\mathrm{2,25})$.

Nulpunten: $(0,0)$ en $(5,0)$.
Symmetrieas: $x=\mathrm{2,5}$.
Top: $T(\mathrm{2,5};\mathrm{12,5})$.

Controleer je antwoorden met de applet. Werk eventueel met iemand samen.

$y=3x^2+42x+120=3(x^2+14x+40)=3(x+4)(x+10)$

De nulpunten zijn $(\text{-}4,0)$ en $(\text{-}10,0)$.

De symmetrieas is $x=\text{-}7$, dus de top van de bijbehorende parabool is $(\text{-}7,\text{-}27)$.

Er is sprake van een dalparabool, dus van een minimum van $\text{-}27$ voor $x=\text{-}7$.

Omdat dan aan beide zijden van het isgelijkteken het getal $\text{-}1$ staat. Door aan beide zijden $1$ op te tellen verdwijnen deze getallen beide en blijft er een uitdrukking over die gemakkelijk te ontbinden is door $2x$ buiten haakjes te halen.

$x=\frac{0+3}{2}=\mathrm{1,5}$

Dat kan op dit moment alleen door inklemmen. Je weet waar beide nulpunten ongeveer moeten zitten. Daar maak je dan een nauwkeurige tabel.

$\mathrm{1,5}{x}^2+3x-\mathrm{4,5}=\text{-}\mathrm{4,5}$ geeft $\mathrm{1,5}{x}^2+3x=0$ en dus $\mathrm{1,5}x(x+2)=0$, zodat $x=0\vee x=\text{-}2$.

Je vindt $(0;\text{-}\mathrm{4,5})$ en $(\text{-}2;\text{-}\mathrm{4,5})$.

$T(\text{-}1,\text{-}6)$ en dit komt overeen met de applet.

Controleer je antwoorden met behulp van de applet. (Zorg er dus wel voor dat je parabool in beeld is!)

$\text{-}\mathrm{0,5}{x}^2+50x=\text{-}\mathrm{0,5}x(x-100)=0$ geeft $x=0\vee x=100$.

De nulpunten zijn $(0,0)$ en $(100,0)$.

$T(50,1250)$ en dit komt overeen met de applet.

Met de gevonden top en nulpunten is de schets eenvoudig te maken.

Vul $x=0$ in de formule in. Je vindt $h=\mathrm{0,42}$.

De bal wordt op $42$ cm hoogte geraakt.

De nulpunten zijn $(\text{-}2,0)$ en $(21,0)$.

De bal komt na $21$ m weer op de grond.

De nulpunten zijn $(\text{-}2,0)$ en $(21,0)$.

De symmetrieas is daarom $x=\mathrm{9,5}$.

De top van de parabool is $(\mathrm{9,5};\mathrm{1,3225})$.

Nulpunten: $(0,0)$ en $(30,0)$.
Symmetrieas: $x=15$.
Top: $T(15,\text{-}450)$. Dalparabool, dus is er een minimum van $\text{-}450$ voor $x=15$.

Top: $T(\mathrm{2,5};\text{-}1)$. Dalparabool, dus is er een minimum van $\text{-}1$ voor $x=\mathrm{2,5}$.
Nulpunten: ${(x-2.5)}^2-1=0$ geeft $x=\mathrm{2,5}\vee x=\mathrm{3,5}$. Dus $(\mathrm{2,5};0)$ en $(\mathrm{3,5};0)$.

Nulpunten: $(4,0)$ en $(\text{-}1,0)$.
Symmetrieas: $x=\mathrm{1,5}$.
Top: $T(\mathrm{1,5};\mathrm{3,125})$. Bergparabool, dus is er een maximum van $\mathrm{3,125}$ voor $x=\mathrm{1,5}$.

Top: $T(3,1)$. Dalparabool, dus is er een minimum van $1$ voor $x=3$.
Nulpunten: ${(x-3)}^2+1=0$ heeft geen oplossing. Dus er zijn geen nulpunten.

De formule kan worden geschreven als $y={(x-4)}^2-\mathrm{7,5}$

Top: $T(4;\text{-}\mathrm{7,5})$. Dalparabool, dus is er een minimum van $\text{-}\mathrm{7,5}$ voor $x=4$.
Nulpunten: ${(x-4)}^2-7.5=0$ geeft $x=4-\sqrt{\mathrm{7,5}}\vee x=4+\sqrt{\mathrm{7,5}}$. De nulpunten zijn dus $(4-\sqrt{\mathrm{7,5}};0)$ en $(4+\sqrt{\mathrm{7,5}};0)$.

Top: $T(\text{-}1,0)$. Bergparabool, dus is er een maximum van $0$ voor $x=\text{-}1$.
Nulpunt is $(\text{-}1,0)$ want dit is een dalparabool met zijn top op de $x$-as.

$\mathrm{0,5}{x}^2-x-4=0$ geeft $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)=0$ en dus $x=4\vee x=\text{-}2$.

De nulpunten zijn $(4,0)$ en $(\text{-}2,0)$.

De top is $(1;\text{-}4,5)$.

Je hebt al drie punten van de grafiek. Bereken er nog een paar en maak dan je grafiek.

$\mathrm{0,5}{x}^2-x+1=1$ geeft $x^2-2x=0$ en dus $x=0\vee x=2$

De punten zijn $(0,1)$ en $(2,1)$.

De symmetrieas is $x=1$.

De top is $(1;\mathrm{0,5})$.

Je hebt de top. Bereken nog een paar punten, maak een tabel en maak je grafiek.

Oplossen: $x^2+8x+2=2$ geeft $x=0\vee x=\text{-}8$.
Top: $T(\text{-}4,\text{-}14)$.

Oplossen: $x^2-2x+10=10$ geeft $x=0\vee x=2$.
Top: $T(1,9)$.

Oplossen: $2x^2+10x-8=\text{-}8$ geeft $x=0\vee x=\text{-}5$.
Top: $T(\text{-}\mathrm{2,5};\text{-}\mathrm{20,5})$.

Nulpunten: $(\text{-}3,0)$ en $(8;0)$.
Symmetrieas: $x=\mathrm{2,5}$.
Top: $T(\mathrm{2,5};121)$.

Oplossen: $\mathrm{0,5}{x}^2+x=0$ geeft $x=0\vee x=\text{-}2$.
Top: $T(\text{-}1;\text{-}\mathrm{0,5})$.

Oplossen: $\text{-}\mathrm{}{x}^2+6x-4=\text{-}4$ geeft $x=0\vee x=6$.
Top: $T(3,5)$.

In de tabel kun je zien, dat elke keer als de prijs met $5$ toeneemt, het aantal verkochte koppen soep met $\text{-}10$ toeneemt (dus eigenlijk afneemt). De richtingscoëfficiënt van de lijn die je door de punten in de tabel kunt tekenen is daarom $\text{-}10/5=\text{-}2$.
De formule wordt daarmee $q=\text{-}2p+b$ en het invullen van één van de punten in de tabel geeft $b=340$.
En daarmee vind je de formule die is gegeven.

Bereken steeds $p\cdot q$ en ga na dat de uitkomst daarvan groter wordt als $p$ kleiner wordt.

Nee, op zeker moment wordt zijn prijs per kop zo laag, dat hij nauwelijks inkomsten overhoudt.

$R=\text{-}2p^2+340p$ als je de haakjes wegwerkt. Deze formule past bij een bergparabool, dus er is een maximum.

De nulpunten van $R$ vind je uit $R=p(340-2p)=0$ en dat levert op $p=0\vee p=170$.
De symmetrieas van de bergparabool die bij deze formule past is $p=85$. De maximale opbrengst vind je dus bij $p=85$ en die is $14450$, dus € 144,50.

Voor een zo groot mogelijke opbrengst moet hij € 0,85 per kop vragen.

Nee, want je moet ook rekening houden met de kosten voor het maken van de erwtensoep. Zie volgende opgave.

Bij winst houd je ook rekening met de gemaakte kosten en bij opbrengst let je alleen op de inkomsten als gevolg van van de verkoop.

De winst per kop soep is $p-50$ cent en het aantal verkochte koppen soep is $340-2p$. Om de winst uit te rekenen moet je deze twee uitdrukkingen vermenigvuldigen.

$(p-50)(340-2p)=0$ geeft $p-50=0\vee 340-2p=0$ en dus $p=50\vee p=170$. Bij deze prijzen is de winst op de verkoop van de koppen soep $0$, dus dan wordt er geen winst gemaakt en ook geen verlies geleden.

De symmetrieas van de bergparabool die bij de formule voor de winst past is $p=110$. De maximale winst vind je dus bij $p=110$ en die is $7200$, dus € 72,00.

Voor een zo groot mogelijke winst moet hij € 1,10 per kop vragen.

Maximum van `4` voor `x = 6` .

Nulpunten `(6-sqrt(8), 0)` en `(6+sqrt(8), 0)` .

Minimum van `text(-)40,5` voor `x = 0,5` .

Nulpunten `(text(-)4, 0)` en `(5, 0)` .

Minimum van `text(-)16` voor `x = 3` .

Nulpunten `(text(-)1, 0)` en `(7, 0)` .

Minimum van `text(-)36` voor `x = 10` .

Nulpunten `(4, 0)` en `(16, 0)` .