Ga na, dat je hetzelfde krijgt als in de uitleg.

$x\approx \text{-}\mathrm{1,586}\vee x\approx \text{-}\mathrm{4,414}$

Lees af: $a=1$, $b=6$ en $c=8$.

Oplossing: $x=\frac{\text{-}6\pm \sqrt{6^2-4\cdot 1\cdot 8}}{2\cdot 1}=\frac{\text{-}6\pm \sqrt{4}}{2}$.

Dit kun je herleiden tot $x=\frac{\text{-}6\pm 2}{2}$ en dat betekent $x=2\vee x=4$. Nu zie je dat beide oplossingen overeen komen.

Omdat als $a=0$ het kwadraat wegvalt en er dus geen kwadratische vergelijking, maar een lineaire vergelijking overblijft.

Je schrijft de vergelijking eerst als $2x^2-6x+4=0$.

Lees af: $a=2$, $b=\text{-}6$ en $c=4$.

Oplossing: $x=\frac{6\pm \sqrt{{\left(\text{-}6\right)}^2-4\cdot 2\cdot 4}}{2\cdot 2}=\frac{6\pm \sqrt{4}}{4}$.

Omdat nu de wortel uitkomt vind je $x=\frac{6+2}{4}=2\vee x=\frac{6-2}{4}=1$.

Lees af: $a=1$, $b=12$ en $c=4$.

Oplossing: $x=\frac{\text{-}12\pm \sqrt{{12}^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}=\frac{12\pm \sqrt{128}}{2}$.

Dit kun je herleiden tot $x=\frac{12\pm \sqrt{128}}{2}=\frac{12\pm 8\sqrt{2}}{2}=6\pm 4\sqrt{2}$.

Lees af: $a=2$, $b=5$ en $c=\text{-}10$.

Oplossing: $x=\frac{\text{-}5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 2\cdot \text{-}10}}{2\cdot 2}=\frac{\text{-}5\pm \sqrt{105}}{4}$.

Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.

Schrijf de vergelijking eerst als $x^2-5x-7=0$.

Lees af: $a=1$, $b=\text{-}5$ en $c=\text{-}7$.

Oplossing: $x=\frac{5\pm \sqrt{{\left(\text{-}5\right)}^2-4\cdot 1\cdot \text{-}7}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm \sqrt{53}}{2}$.

Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.

Schrijf de vergelijking eerst als $9x^2+10x-17=0$.

Lees af: $a=9$, $b=10$ en $c=\text{-}17$.

Oplossing: $x=\frac{\text{-}10\pm \sqrt{{10}^2-4\cdot 9\cdot \text{-}17}}{2\cdot 9}=\frac{\text{-}10\pm \sqrt{712}}{18}$.

Dit hoef je niet verder te herleiden.

Je schrijft de vergelijking eerst als $2x^2-12x+16=0$. (Eventueel deel je ook nog beide zijden door $2$.)

Lees af: $a=2$, $b=12$ en $c=16$.

Oplossing: $x=\frac{12\pm \sqrt{{\left(\text{-}12\right)}^2-4\cdot 2\cdot 16}}{2\cdot 2}=\frac{12\pm \sqrt{4}}{4}$.

Omdat nu de wortel uitkomt vind je $x=\frac{12+2}{4}=\mathrm{3,5}\vee x=\frac{12-2}{4}=\mathrm{2,5}$.

Lees af: $a=3$, $b=8$ en $c=\text{-}3$.

Oplossing: $x=\frac{\text{-}8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 3\cdot \text{-}3}}{2\cdot 3}=\frac{\text{-}8\pm \sqrt{100}}{6}$.

Omdat nu de wortel uitkomt vind je $x=\frac{\text{-}8+10}{6}=\frac{1}{3}\vee x=\frac{\text{-}8-10}{6}=\text{-}3$.

Lees af: $a=2$, $b=\text{-}6$ en $c=\text{-}1$.

En dus is $D=b^2-4ac={\left(\text{-}6\right)}^2-4\cdot 2\cdot \text{-}1=44$.

De oplossing is $x=\frac{6\pm \sqrt{44}}{4}$.

De oplossing is $x\approx \mathrm{3,2}\vee x\approx \text{-}\mathrm{0,2}$.

Lees af: $a=2$, $b=\text{-}6$ en $c=\mathrm{4,5}$.

En dus is $D={\left(\text{-}6\right)}^2-4\cdot 2\cdot \mathrm{4,5}=0$. De uitdrukking onder de wortel valt daarom weg.

De oplossing is $x=\frac{6\pm \sqrt{0}}{4}=\mathrm{1,5}$.

Lees af: $a=2$, $b=\text{-}6$ en $c=6$.

En dus is $D={\left(\text{-}6\right)}^2-4\cdot 2\cdot 6=\text{-}12$. De discriminant is negatief en de wortel uit een negatief getal heeft geen reële uitkomst.

Lees af: $a=2$, $b=5$ en $c=\text{-}20$.

En dus is $D=5^2-4\cdot 2\cdot \text{-}20=185$.

De oplossing is $x=\frac{\text{-}5\pm \sqrt{185}}{4}$.

Schrijf de vergelijking als $3x^2-9x+11=0$.

Lees af: $a=3$, $b=\text{-}9$ en $c=11$.

En dus is $D={\left(\text{-}9\right)}^2-4\cdot 3\cdot 11=\text{-}51<0$.

Geen reële oplossing.

Schrijf de vergelijking als $3x^2-4x+1=0$.

Lees af: $a=3$, $b=\text{-}4$ en $c=1$.

En dus is $D={\left(\text{-}4\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4>0$.

De oplossing is $x=\frac{4\pm \sqrt{4}}{4}$ en dat geeft $x=\mathrm{1,5}\vee x=\mathrm{0,5}$.

Lees af: $a=4$, $b=\text{-}20$ en $c=25$.

En dus is $D={\left(\text{-}20\right)}^2-4\cdot 4\cdot 25=0$.

De oplossing is $x=\frac{20}{8}=\mathrm{2,5}$.

Omdat je de vergelijking in de vorm $a{x}^2+bx+c=0$ moet brengen om de abc-formule te kunnen toepassen.

Doen.

Het kwadraat van $\text{-}5$ is $\text{-}5\cdot \text{-}5=25$ en niet $\text{-}\mathrm{}{5}^2=\text{-}5\cdot 5$.

$x=\frac{5+\sqrt{13}}{2}\approx \mathrm{4,30}\vee x=\frac{5-\sqrt{13}}{2}\approx \mathrm{0,70}$

`3x^2 + 4 = 7x` geeft `3x^2 - 7x + 4 = 0` .
Nu is `D = (text(-)7)^2 - 4*3*4 = 1` en de oplossingen zijn: `x = 8/6 = 4/3 vv x = 1` .

Haakjes wegwerken en op `0` herleiden: `2x^2 + x - 1 = 4` geeft `2x^2 + x - 5 = 0` .
Nu is `D = 1^2 - 4*2*text(-)5 = 41` en de oplossingen zijn: `x = (text(-)1+sqrt(41))/4 vv x = (text(-)1-sqrt(41))/4` .

Op `0` herleiden: `x^2 - 4x + 7 = 0` .
Nu is `D lt 0` en zijn er geen oplossingen.

Haakjes wegwerken en op `0` herleiden: `x^2 + 2x + 9 = 0` .
Nu is `D lt 0` en zijn er geen oplossingen.

Haakjes wegwerken en op `0` herleiden: `4x^2 - 16x + 16 = 0` .
Nu is `D = 0` en is er één oplossing: `x=2` .

Nu kun je meteen worteltrekken: `2x+4 = +- sqrt(32)` .
En dus zijn de oplossingen: `x = text(-)2 + 1/2 sqrt(32) vv x = text(-)2 - 1/2 sqrt(32)` .

Als je de haakjes wegwerkt lijkt er een kwadratische vergelijking te ontstaan. Maar nee, want aan beide zijden van het isgelijkteken kun je dan $x^2$ aftrekken en dan blijft er geen kwadraat meer over.

$x^2+8x+16=4+x^2$ wordt $8x+12=0$.

Op $0$ herleiden was achteraf niet handig. Deze vergelijking los je op met de balansmethode. Nu krijg je $8x=\text{-}12$ en dus $x=\text{-}12/8=\text{-}\mathrm{1,5}$.

$x^2+6x+5=(x+5)(x+1)=0$ levert de juiste $x$-waarden op.

Je kunt in de figuur zien dat er twee snijpunten zijn.

Bijvoorbeeld door invullen in $y_2=2x-4$. Bij $x=\text{-}5$ krijg je dan $y=2\cdot \text{-}5-4=\text{-}14$ en bij $x=\text{-}1$ krijg je dan $y=2\cdot \text{-}1-4=\text{-}6$.

Nee, beide formules moeten dezelfde bijbehorende $y$-waarden opleveren.

Eerst $x^2+3x+1=\text{-}\mathrm{}x-2$ op $0$ herleiden tot $x^2+4x+3=0$.

Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft $x=\text{-}3\vee x=\text{-}1$.

De snijpunten zijn $(\text{-}3,1)$ en $(\text{-}1,\text{-}1)$.

Eerst $x^2-x-6=2x+4$ op $0$ herleiden tot $x^2-3x-10=0$.

Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft $x=\text{-}2\vee x=5$.

De snijpunten zijn $\left(\text{-}\mathrm{2,0}\right)$ en $\left(\mathrm{5,14}\right)$.

Je moet nu $x^2=2$ oplossen.

Zo'n eenvoudige vergelijking doe je niet met de abc-formule. Je vindt $x=\pm \sqrt{2}$.

De snijpunten zijn $(\text{-}\mathrm{}\sqrt{2},2)$ en $(\sqrt{2},2)$.

${(x+1)}^2=4-x^2$

Eerst $x^2+2x+1=4-x^2$ op $0$ herleiden tot $2x^2+2x-3=0$.

De discriminant is $D=2^2-4\cdot 2\cdot \text{-}3=28$ en dat is een positief getal maar geen kwadraat.

Met de abc-formule vind je $x=\frac{\text{-}2\pm \sqrt{28}}{4}$, dus $x\approx \text{-}\mathrm{1,823}\vee x\approx \mathrm{0,823}$.

De snijpunten zijn (op twee decimalen nauwkeurig) $(\text{-}\mathrm{1,82};\mathrm{0,68})$ en $(\mathrm{0,82};\mathrm{3,32})$.

Oplossing: $x=\frac{\text{-}5\pm \sqrt{21}}{2}$

Oplossing: $x=\frac{3\pm \sqrt{25}}{4}$ dus $x=2\vee x=\text{-}\mathrm{0,5}$.

Eerst op $0$ herleiden: $\text{-}5x^2-7x-1=0$.
Oplossing: $x=\frac{7\pm \sqrt{29}}{\text{-}10}$.

Eerst haakjes uitwerken en op $0$ herleiden: $2x^2+3x-3=0$.
Oplossing: $x=\frac{3\pm \sqrt{33}}{4}$.

Eerst haakjes uitwerken en op $0$ herleiden: $2x^2=0$.
Oplossing: $x=0$.

Nu kun je meteen splitsen: $x=0\vee 2x+3=0$.
Oplossing: $x=0\vee x=\text{-}\mathrm{1,5}$.

Eerst haakjes uitwerken en op $0$ herleiden: $x^2-2x-17=0$.
Oplossing: $x=\frac{2\pm \sqrt{72}}{2}=1\pm 3\sqrt{2}$.

Nu kun je meteen splitsen: $x+3=0\vee x-5=0$.
Oplossing: $x=\text{-}3\vee x=5$.

Nu kun je meteen worteltrekken: $2x+5=\pm \sqrt{5}$.
Oplossing: $x=\frac{\text{-}5\pm \sqrt{5}}{2}$.

$D=5^2-4\cdot 2\cdot \text{-}1=33$, dus twee oplossingen.

Eerst op $0$ herleiden: $5x^2-x-1=0$.
$D={\left(\text{-}1\right)}^2-4\cdot 5\cdot \text{-}1=21$, dus twee oplossingen.

Eerst op $0$ herleiden: $\text{-}2x^2+6x-18=0$.
$D=6^2-4\cdot \text{-}2\cdot \text{-}18=\text{-}108$, dus geen reële oplossingen.

Hier kun je meteen worteltrekken: $1-2x=\pm \sqrt{12}$.
Er zijn dus twee oplossingen.

Als je dit schrijft als ${(x-1)}^2=\text{-}4$ zie je meteen dat er geen reële oplossingen zijn: een kwadraat kan niet negatief zijn.

Er zijn twee snijpunten met gehele coördinaten. Dus is $D>0$ en een kwadraat.

Er zijn twee snijpunten, maar niet met gehele coördinaten. Dus is $D>0$, maar geen kwadraat.

Er zijn geen snijpunten. Dus is $D<0$ en dus geen kwadraat.

Er zijn twee nulpunten met gehele coördinaten. Dus is $D>0$ en een kwadraat.

Er zijn geen nulpunten. Dus is $D<0$ en dus geen kwadraat.

Er is één snijpunt met gehele coördinaten. Dus is $D=0$ en dat is een kwadraat.

$\text{-}2x^2+8x=2x-36$ geeft $x^2-3x-18=0$ en dus $x=\text{-}3\vee x=6$. De snijpunten zijn $(\text{-}3,42)$ en $(6,\text{-}24)$.

${(x-10)}^2-50=10-5x$ geeft $x^2-15x+40=0$ en dus $x=\frac{15\pm \sqrt{65}}{2}$. De snijpunten zijn $(\mathrm{3,5};\text{-}\mathrm{7,3})$ en $(\mathrm{11,5};\text{-}\mathrm{47,7})$.

In die vorm kun je meteen de top van de bijbehorende parabool aflezen. Bovendien kun je de nulpunten exact berekenen door terugrekenen.

Dat kun je doen met een figuur zoals die in Toepassen, of door aan de rechterkant de haakjes weer uit te werken.

$y=x^2+8x+2={(x+4)}^2-16+2={(x+4)}^2-14$ en de top is dus $\left(\mathrm{-4,-14}\right)$.

$y=x^2+6x-12={(x+3)}^2-9-12={(x+3)}^2-21$

$y=x^2-4x+9={(x-2)}^2-4+9={(x-2)}^2+5$

$y=x^2+5x={(x+\mathrm{2,5})}^2-\mathrm{6,25}$

Je krijgt na kwadraat afsplitsen ${(x+3)}^2-8=0$.

Terugrekenen levert op $x=-3\pm \sqrt{8}$.

Kwadraat afsplitsen: ${(x+4)}^2-31=0$.

Oplossing: $x=-4\pm \sqrt{31}$.

Kwadraat afsplitsen: ${(x-4)}^2-14=0$.

Oplossing: $x=4\pm \sqrt{14}$.

Eerst beide zijden delen door $2$.
Dan kwadraat afsplitsen: ${(x-2)}^2-3=0$.

Oplossing: $x=2\pm \sqrt{3}$.

`x~~text(-)5,27 vv x~~2,27`

`x=text(-)2 vv x=text(-)3`

`x~~1,46 vv x~~text(-)2,06`

`x=1 vv x=text(-)3`

`(0, 1)` .

De snijpunten zijn `(text(-)22,2; 0)` en `(2,2; 0)` .

`x ~~ text(-)21,40 vv x ~~ 1,40`

Snijpunten `(1; text(-)1,1)` en `(text(-)20, 1)` .