Ruimtemeetkunde

Ruimtemeetkunde > Aanzichten

12345Aanzichten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Dit is een halve balk $A B C D . E F$ met als grondvlak rechthoek $A B C D$ met $A B = 10$ en $B C = 6$ cm. Zie verder de figuur.

Je moet wel $A E$ berekenen met de stelling van Pythagoras: $A E = \sqrt{10^{2} + 6^{2}} = \sqrt{136} \approx 11,7$ cm.

Opgave 1

$8$ cm, namelijk de lengte van (bijvoorbeeld) $C F$ . (Denk aan het voorgaande onderdeel, of kijk nog even terug als je niet meer weet waarom $C F = 8$ cm.)

$2 \sqrt{12}$ cm, namelijk de lengte van (bijvoorbeeld) $B F$ . (Denk aan het voorgaande onderdeel, of kijk nog even terug als je niet meer weet waarom $B F = 2 \sqrt{12}$ cm.)

Alleen in het vooraanzicht.

Zie de figuur.

Opgave 2

Neem aan, dat $S$ het midden is van de cirkel door de hoekpunten van het grondvlak. Dan kun je in $Δ A S T$ de stelling van Pythagoras toepassen.
$S T = \sqrt{12^{2} - 4^{2}} = \sqrt{128} \approx 11,3$ cm.

Zie de figuur.

Alleen de ribben $A T$ en $D T$ in het vooraanzicht.

Zie de figuur.

Opgave 3

Om een regelmatig driezijdig prisma.

De hoogte van het vooraanzicht is hetzelfde als de hoogte van het zijaanzicht.
In het vooraanzicht kun je die hoogte uitrekenen: $\sqrt{6^{2} - 3^{2}} = \sqrt{27}$ .

Zie de figuur.

Opgave 4

Doen. Lees in het voorbeeld na hoe het vooraanzicht wordt getekend.

Zie de figuur.

$M$ is het midden van $A D$ .
Gebruik de stelling van Pythagoras in $Δ A M E$ .
De gevraagde hoogte wordt $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} + 6 = 6 + \sqrt{7} \approx 8,65$ cm.

$\sin (∠ A E M) = \frac{3}{4} = 0,75$ zodat $∠ A E M \approx 48,6 °$ en $∠ A E D \approx 97,2 ° \approx 97 °$ .

Opgave 5

Doen. Het bovenaanzicht is een vierkant van $4$ bij $4$ cm met daarin de twee diagonalen getekend als aanzicht van de vier ribben van de piramide. Voor het vooraanzicht en het zijaanzicht moet je (bijvoorbeeld) eerst de hoogte $T S$ van de piramide berekenen waarin $S$ het snijpunt van $A C$ en $B D$ is. Ga na dat $T S = \sqrt{8}$ .

Zet de letters op de juiste plek bij de aanzichten. Laat je antwoord even controleren.

Opgave 6

Het aantal kubusjes in het vooraanzicht van een balk bepaalt de oppervlakte van het rechthoekige voorvlak. En hetzelfde voor het zijvlak.

Nee.

Er is dan geen aanzicht met een oppervlakte van $8$ kubusjes.

Opgave 7

Maak weer een tabel zoals in het Voorbeeld 2.

De enige mogelijkheid is $10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$ kubusjes.

Opgave 8

De breedte is altijd $432 / 72 = 6$ uitkomt.

Het zijaanzicht kan bestaan uit $1 \cdot 6 = 6$ , $2 \cdot 6 = 12$ , $3 \cdot 6 = 18$ , $4 \cdot 6 = 24$ , $6 \cdot 6 = 36$ , $8 \cdot 6 = 48$ , $9 \cdot 6 = 54$ , $12 \cdot 6 = 72$ , $18 \cdot 6 = 108$ , $24 \cdot 6 = 144$ , $36 \cdot 6 = 216$ , of $62 \cdot 6 = 432$ kubusjes.

Opgave 9

De mogelijkheden zijn: $2 \cdot 22 \cdot 3 = 132$ , $4 \cdot 11 \cdot 6 = 264$ , $22 \cdot 2 \cdot 33 = 1452$ en $44 \cdot 1 \cdot 66 = 2904$ kubusjes.

Opgave 10

Een gelijkbenige driehoek met een basis van $8$ cm en een hoogte van $6$ cm. Dat kan niet anders omdat het lichaam een veelvlak is en er dus geen gebogen grensvlakken zijn.

Dat staat in het voorbeeld. Merk nog op dat je die hoogte in het zijaanzicht kunt zien! Het is de linker van de twee gelijke benen van het zijaanzicht. Als je daar dan een hoogtelijn vanuit $T$ in tekent, dan kun je de hoogte van $Δ A B T$ berekenen met de stelling van Pythagoras.

De totale oppervlakte is `8 * 6 + 2 * 1/2 * 6 * sqrt(52) + 2 * 1/2 * 8 * sqrt(45) ~~ 146,7` cm².

Opgave 11

Dit is een regelmatig driezijdig prisma.

Alle drie de opstaande grensvlakken zijn vierkanten met een oppervlakte van $4 \cdot 4 = 16$ cm².
De twee gelijkzijdige driehoeken hebben een oppervlakte van $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{12} = 2 \sqrt{12}$ cm².
De totale oppervlakte is dus $48 + 4 \sqrt{12}$ cm².

Opgave 12

Zie figuur. Bereken eerst $M T = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ .

Eerst bereken je $M B = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = \sqrt{27}$ .
En dan is $B T = \sqrt{{(\sqrt{27})}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{43}$ cm.

$\sin (∠ M T B) = \frac{5}{\sqrt{43}}$ geeft $∠ M T B \approx 50 °$ .

Opgave 13

Het bovenaanzicht is een vierkant $A B E D$ met zijden van $4$ cm. Lijnstuk $F C$ verbindt de middens van $D E$ en $A B$ .

Omdat $A C = B C = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20}$ is de totale oppervlakte $4 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{20} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 32 + 8 \sqrt{20}$ .

Opgave 14

Teken eerst een vierkant van $5$ bij $5$ cm. Verbind dan de middens van de onderste en de bovenste zijde en laat deze lijn aan beide zijden $2,5$ cm uitsteken. Je krijgt dan deze figuur.

Maak een schets van de figuur met de letters op de juiste plek. Neem aan dat $P$ het midden van $A B$ is en dat $Q$ op $E F$ ligt met $E Q = 25$ cm.

Je weet dan dat $P Q = 100$ cm, de hoogte van het beeld.
Verder is $B Q = \sqrt{100^{2} + 25^{2}} = \sqrt{10625}$ . Daaruit volgt dat $B E = \sqrt{10625 + 25^{2}} = \sqrt{11250} \approx 106,1$ cm.

Het grondvlak hoeft niet, daar staat het beeld op. Het gaat daarom om de trapeziums $B C E F$ en $D A E F$ en de gelijkbenige driehoeken $A B E$ en $C D F$ .

Beide gelijkbenige driehoeken hebben een basis van $50$ cm en een hoogte van $P E = \sqrt{100^{2} + 25^{2}} = \sqrt{10625}$ . Hun oppervlakte is $25 \sqrt{10625}$ .

De oppervlakte van één van beide trapeziums is $\frac{1}{2} \cdot (100 + 50) \cdot \sqrt{10625} = 75 \sqrt{10625}$ .

De totale oppervlakte is daarom $200 \sqrt{10625} \approx 20616$ cm².

(bron: vmbo TL examen 2007 - II)

Opgave 15

Maak een tabel met alle mogelijkheden.
Je vindt minimaal $120$ kubusjes en maximaal $960$ kubusjes.

Opgave 16

Merk eerst op dat `FG = 3` m omdat `Delta BGF` gelijkzijdig is. Vierkant `ABCD` heeft daarom zijden van `sqrt(3^2+3^2) = sqrt(18)` cm. Teken dat vierkant en verbind de middens van de overstaande zijden.

Als `M` het midden is van `AB` , dan is `MF = 3*sin(60) ~~ 2,598` m. (Denk om de instelling van je rekenmachine op graden!)
`TS = 2*MF ~~ 5,20` m.

(bron: vmbo TL examen 2011 - I)

Opgave 17Achtkanter (I)

Achtkanter (I)

`M` is het midden van `AB` en `N` dat van `BC` .
`FG = MN = sqrt(32)` is de lengte van de zijden van het bovenvlak.

`cos(/_ BFG) = (0,5sqrt(32))/6` geeft `/_BFG ~~ 62^@` .
Vanwege de symmetrie is `/_BGF ~~ 62^@` en `/_GBF ~~ 56^@` .

Zie de figuur.

`8 * 8 + sqrt(32)*sqrt(32) + 4 * 1/2 * 8 * sqrt(20) + 4 * 1/2 * sqrt(32)*sqrt(28) ~~ 227,42` cm².

Opgave 18Achtkanter (II)

Achtkanter (II)

In `Delta BFG` is nu de hoogte `BK` gelijk aan `BK = sqrt(32)` .
`TS` kan worden verschoven naar `KL` met `L` op `BS` . Omdat `LS = 2` is `BL = sqrt(32) - 2` .
Dus `TS = KL = sqrt((sqrt(32))^2 - (sqrt(32)-2)^2) = sqrt(2sqrt(32)-4)` .

Zie de figuur.

`8 * 8 + 4 *4 + 4 * 1/2 * 8 * sqrt(20) + 4 * 1/2 * 4 * sqrt(32) ~~ 196,81` cm².

Opgave 19

Zie figuur.

Ongeveer `106,5` cm².

Opgave 20

Een regelmatig driezijdig prisma met oppervlakte `~~175` cm².

verder | terug