Dan ligt diagonaalvlak $ACGE$ recht voor je en dat is een rechthoek van $\sqrt{50}$ bij $5$. In de figuur zie je nu de punten $A$, $P$, $G$ en $Q$ op één lijn liggen.

Nee, dat is onmogelijk.

Ze zijn allemaal zijden van een rechthoekige driehoek van $5$ bij $\mathrm{2,5}$ cm waarvan de langste rechthoekszijde horizontaal (evenwijdig met het grondvlak van de kubus) is. En daarom zijn ze ook even lang.

Begin met diagonaal $PQ$. Deze diagonaal heeft een lengte van $\sqrt{50}$ cm. Daarna cirkel je vanuit punt $P$ de zijden $PA$ en $PG$ om en vanuit punt $Q$ cirkel je $QA$ en $QG$ om. Nu kun je de ruit afmaken.

Dat kan in de ruit die je zojuist bij d hebt getekend, of in het diagonaalvlak $ACGE$. In beide gevallen heb je de stelling van Pythagoras nodig: $AG=\sqrt{75}$.

Ze zijn niet evenwijdig. Verder liggen ze in vlakken die evenwijdig zijn, dus kunnen ze elkaar ook niet snijden (al lijkt dat misschien als je de lijnstukken $AH$ en $PG$ langer maakt wel zo te zijn).

Ze zijn kruisend. Want ze liggen in twee verschillende evenwijdige vlakken en lopen niet evenwijdig.

De lijnen zijn snijdend want ze liggen beide in het voorvlak van de kubus.

Er zijn punten buiten deze driehoek die zowel op het vlak door die drie punten als binnen of op de kubus liggen.

Omdat lijnstuk $KL$ evenwijdig moet zijn met ribbe $CG$.

De doorsnede is een rechthoek met lengte $KC$ en breedte $CG$. De lengte van $KC$ bereken je met de stelling van Pythagoras: $KC=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}$ cm.

De lijn `DG` is hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `DC=6` en `CG=4` .
De lijn `PQ` is hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `PB=3` en `BQ=2` .
Beide lijnen liggen in evenwijdige vlakken (voorvlak en achtervlak van de balk) en de driehoeken `DCG` en `PBQ` zijn gelijkvormig.

Gebruik de stelling van Pythagoras. `DG = sqrt(6^2 + 4^2) = sqrt(52)` en `DP = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(18)` .

`PQ = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(13)` en `QG = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13)` .

Gebruik de stelling van Pythagoras in driehoek $PCG$ met `PC = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(18)` . Dan is `PG = sqrt((sqrt(18))^2 + 4^2) = sqrt(34)` .

Teken eerst $\text{Δ}DGP$ (daarvan weet je alle zijden) en zet daar $\text{Δ}PGQ$ op.

Nee, want bijvoorbeeld $MK$ en $HN$ zijn niet evenwijdig.

Ja, van deze driehoek liggen alle zijden op de grensvlakken van de balk.

Nee, van deze driehoek liggen maar twee zijden op de grensvlakken van de balk, de andere zijde niet. Er zijn dus nog punten van het vlak door $K$, $M$ en $N$ die binnen of op de balk en buiten de gegeven driehoek liggen.

$MB=\sqrt{6^2+{\mathrm{2,5}}^2}=\sqrt{\mathrm{42,25}}=\mathrm{6,5}$ en $BN=\sqrt{4^2+{\mathrm{2,5}}^2}=\sqrt{\mathrm{22,25}}\approx \mathrm{4,7}$.
Verder is diagonaal $MN=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\approx \mathrm{7,2}$.
Nu kun je eerst $\text{Δ}MBN$ tekenen. Maar omdat $MH=BN$ en $HN=MB$ kun je $\text{Δ}MHN$ daar tegenaan tekenen.

Evenwijdige lijnen.

Kruisende lijnen.

Kruisende lijnen.

Snijdende lijnen.

Snijdende lijnen.

Kruisende lijnen.

De lijnstukken $KL$ en $MN$ liggen op evenwijdige lijnen en de andere twee zijden van de vierhoek snijden deze beide lijnen.

$MN=8$ en $KL=4$ cm (vanwege de gelijkvormigheid van de driehoeken $KBL$ en $ABC$). Verder is $NK=LM=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}$.
$KLMN$ is een gelijkbenig trapezium. In de figuur zie je hoe je het nu kunt tekenen.

In de figuur bij b zie je dat $\cos (\angle NML)=\frac{2}{\sqrt{32}}$ zodat $\angle NML\approx 69°$.
De vierhoek heeft dus twee hoeken van ongeveer $69°$ en twee van ongeveer $111°$.

Omdat de overstaande zijden van de zeshoek evenwijdig zijn.

Begin met een cirkel met een straal die gelijk is aan de zijden van de regelmatige zeshoek. Omdat een regelmatige zeshoek uit zes gelijkzijdige driehoeken bestaat, hoef je deze cirkel alleen maar in zes gelijke punten te verdelen. Neem daarvoor een punt op de rand. Pas met de straal van de cirkel tussen de passerpunten twee andere hoekpunten van de zeshoek op de rand van de cirkel af. Ga zo door tot je zeshoek af is.

Doen, het lukt bijvoorbeeld als de vijfhoek door $U$, $P$ en $G$ gaat. Hij moet dan ook hoekpunten op $BF$ en $DH$ hebben. Die moeten iets lager liggen dan de punten $T$ en $Q$.

De doorsneden $AQGT$ en $ACGE$ zijn voorbeelden van vierhoeken.
De doorsneden $DBG$ en $SRC$ zijn voorbeelden van driehoeken.

Omdat de overstaande zijden van de vierhoek evenwijdig moeten zijn. Dus bijvoorbeeld moet $KL//HM$ en dat kan alleen als punt $L$ weer $2$ cm lager ligt dan punt $K$.

Alle zijden van de vierhoek zijn $\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}$ cm lang. Diagonaal $KM$ is $8\sqrt{2}$ cm lang. Nu kun je de figuur tekenen.

Kruisend, deze lijnen liggen niet in één vlak.

Snijdend, deze lijnen liggen in vlak $PCGR$.

Kruisend, deze lijnen liggen niet in één vlak.

Evenwijdig en deze lijnen liggen in vlak $PCGR$.

Snijdend, deze lijnen liggen in vlak $ABCD$.

$\text{Δ}BCT$ is een gelijkbenige driehoek met hoogte $TM=\sqrt{{12}^2-4^2}=\sqrt{128}$. Als $N$ het midden is van $MC$, dan is $\text{Δ}BNP$ rechthoekig met rechthoekszijden $BN=6$ en $NP=\mathrm{0,5}\sqrt{128}$ (gebruik de gelijkvormigheid van de driehoeken $NCP$ en $MCP$).
En dus is $BP=\sqrt{6^2+{\left(\mathrm{0,5}\sqrt{128}\right)}^2}=\sqrt{68}$.

Vierhoek $ABPQ$ is een symmetrisch trapezium met $AB=8$ cm, $PQ=4$ cm en $BP=AQ=\sqrt{68}$ cm.

In de figuur bij b zie je dat $\cos (\angle BAQ)=\frac{2}{\sqrt{68}}$ zodat $\angle BAQ\approx 69°$.
De vierhoek heeft dus twee hoeken van ongeveer $76°$ en twee van ongeveer $104°$.

Je hebt eerder (vorige onderdeel, verwerken) uitgerekend dat `AC = sqrt(18)` en `AT = CT = sqrt(27)` .

Dus is `cos(/_ CAT) = (0,5sqrt(18))/(sqrt(27))` zodat `/_ CAT ~~ 66^@` .
Hieruit volgt `/_ ACT ~~ 66^@` en `/_ ATC ~~ 48^@` .

Dit is een symmetrische vijfhoek met `MN = sqrt(18)` , `ME = NG = sqrt(3^2 - (0,5sqrt(18))^2) = sqrt(4,5)` en `TS = sqrt(22,5)` .

Zie figuur bij b.

Zie de figuur.

Begin met de driehoekige vloer. Daartoe deel je het lijnstuk vanaf het midden $M$ van de middelste vloer naar de top $G$ in twee gelijke delen. Een horizontale lijn door dit punt in diagonaalvlak $ABGH$ snijdt ribbe $GH$ en dat is een hoekpunt van deze vloer. Nu trek je een lijnstuk evenwijdig aan $HF$ tot ribbe $FG$ en vanuit het punt op die ribbe een lijnstuk evenwijdig aan $FC$ tot ribbe $GC$ en tenslotte weer terug naar het punt op ribbe $GH$. Let op het stippelen.

De hoogte tussen deze twee verdiepingen is eenvierde deel van de totale hoogte van de kubus. Die is dus $10$ m.

Als die ribben een lengte van $a$ m hebben, dan is `AC = sqrt(a^2 + a^2)` en `AG = sqrt(a^2 + a^2 + a^2) = sqrt(3a^2) = a * sqrt(3)` en `a*sqrt(3)=10` .
Dus de ribbelengte is $a=\frac{10}{\sqrt{3}}\approx \mathrm{5,77}$ m.

Omdat $ABGH$ een rechthoekig diagonaalvlak van de kubus is, is $\sin (\angle HAG)=\frac{10}{\sqrt{3}}/10=\frac{1}{\sqrt{3}}$, zodat $\angle HAG\approx \mathrm{35,3}°$.

De lijnen `EB` en `QR` lopen evenwijdig en liggen dus in één vlak.

De lijnen `PR` en `BQ` . En de lijnen `PH` en `BQ` .