en liggen in diagonaalvlak en dat geldt dus ook voor de punten en .
Dit diagonaalvlak is een rechthoek met zijden en . (Misschien handig om die even op ware grootte te tekenen.)
De driehoeken en zijn gelijkvormig (want (overstaande hoeken) en (Z-hoeken)). Omdat alle zijden van twee keer zo groot zijn dan die van is . Nu is en dat betekent .
Verder is zodat .
Ook is zodat .
En daarom is .
Elk van de vier opstaande zijvlakken is een gelijkbenige driehoek met een basis van cm en een hoogte van cm.
Voor elke basishoek geldt daarom , zodat .
Elk opstaand zijvlak heeft daarom twee hoeken van en een tophoek van .
Zie figuur. Gebruik je passer voor de lijnstukken van cm.
Het betreft hier een piramide met een vierkant grondvlak en een top die recht boven punt ligt.
Er is geen vlak te vinden waar beide lijnen in liggen en ze lopen niet evenwijdig. (En in een parallelprojectie zijn evenwijdige lijnen ook evenwijdig getekend.)
De lijnen en zijn evenwijdig, evenals de lijnen en .
Nu is en is vierhoek een parallellogram.
Om de vierhoek op ware grootte te kunnen tekenen moet je nog een diagonaal uitrekenen, bijvoorbeeld . Nu kun je met de passer het parallellogram tekenen, begin met de diagonaal en cirkel de zijden om.
Van de piramide is de hoogte . De inhoud is dus cm3
Van de kegel is de inhoud cm3.
De kegel heeft het grootste volume.
Noem de hoogte , dan is .
Deze vergelijking geeft cm.
Een regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken. Als de zijden van die zeshoek cm zijn is van elk van die driehoeken de basis cm en de hoogte `sqrt(120^2 - 60^2) = sqrt(10800)` cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan . Als de zijden van die zeshoek cm zijn is van elk van die driehoeken de basis cm en de hoogte `sqrt(80^2 - 40^2) = sqrt(4800)` cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan .
De boombank heeft dus een oppervlakte van `360 sqrt(10800) - 240 sqrt(4800) ~~ 20785` cm2.
(bron: examen vmbo TL 2011 - I)
ogen.
De uitslag bestaat uit vier gelijkbenige driehoeken met benen van cm en een basis van cm.
Elk van de vier gelijkbenige driehoeken heeft een basis van cm en een hoogte van cm. De oppervlakte van de uitslag is dus cm2.
dus .
(bron: examen vmbo TL 2010-II)
Omdat ze beide in de doorsnede van een vlak met de balk liggen. Immers .
De lijnen en zijn niet evenwijdig, dus deze punten liggen niet in één vlak.
Deze vierhoek is een trapezium met , en . De hoogte van dit trapezium is .
De oppervlakte van is daarom cm2.
cm3.
cm2.
(bron: examen vmbo TL 2005 - I)
De volumevergrotingsfactor is .
Als de lengtevergrotingsfactor is, dan is de volumevergrotingsfactor . Dus is en .
De letters op het kleine blik zijn daarom ongeveer cm hoog.
Ongeveer dagen.
Begin bij het begin van de tunnel. Na m ben je brandblusser gepasseerd, na m ben je brandblussers gepasseerd, na m ben je brandblussers gepasseerd, na m ben je brandblussers gepasseerd, ..., na m ben je brandblussers gepasseerd. En als je de tunnel dan uitloopt komt er geen brandblusser meer bij.
Er hangen dus brandblussers.
Noem die hoek , dan is en dus is .
De totale inhoud van de tunnelbuis is m3 en voor die hoeveelheid zand zijn van die vrachtwagens gevuld.
(bron: examen vmbo TL 2007-II)
Doen.
De oorspronkelijke cirkel had een omtrek van cm. Na het wegknippen van de sector met een sectorhoek van is daar het deel van over, dus de omtrek van de grondcirkel van de kegel is .
De straal van de kegel is daarom cm.
De straal van de oorspronkelijke cirkel is de lengte van een lijnstuk vanuit de top van de kegel naar de grondcirkel.
Het deel van de oppervlakte van de oorspronkelijke cirkel, dus .
De oppervlakte wordt .
De omtrek van de grondcirkel van de kegel wordt en dus wordt de straal van de kegel cm.
De hoogte wordt .
De oorspronkelijke cirkel heeft een omtrek van en een oppervlakte van .
Je knipt er een sector uit, de overblijvende sector heeft een hoek . Dan is de omtrek van de grondcirkel van de kegel en de straal van de grondcirkel .
De oppervlakte van de kegelmantel is .
Er geldt en . De kegelmantel heeft daarom een oppervlakte van .
De grondcirkel telt ook mee, die heeft een oppervlakte van .
De totale oppervlakte is daarom .
Noem de hoogte van de kegel met punt , dan is de hoogte van de kegelvormige punt . (Dit kan ook met gelijkvormigheid in een dwarsdoorsnede van de kegel met hoogte .)
Dit betekent dat en dus cm.
De inhoud van het bekertje is daarmee cm3.
Echt wel een beker dus...
De kegelmantel met punt is een stuk van een cirkel met straal en de oppervlakte daarvan is cm2.
De kegelmantel van de punt zelf is een stuk van een cirkel met straal en de oppervlakte daarvan is cm2.
De mantel van de beker is daarom ongeveer cm2.
Daarbij komt nog de bodem van de beker met een oppervlakte van cm2.
De totale oppervlakte is dus ongeveer cm2.