Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen > Coordinaten in 3D

123456Coordinaten in 3D

Uitleg

Figuur opent via muisklik
Dan draaibaar met rechter muisknop

In de ruimte kun je elk punt van coördinaten voorzien door een $x$ -as, een $y$ -as en een $z$ -as loodrecht op elkaar te zetten en van dezelfde schaalverdeling te voorzien. Het snijpunt van de drie assen is $O$ . Je hebt dan een driedimensionaal cartesisch assenstelsel.

Hier zie je een driedimensionaal cartesisch $Oxyz$ -assenstelsel met balk $OABC.DEFG$ .
Punt $F$ heeft de coördinaten $(4, 2, 3)$ .
Je ziet: eerst de $x$ -coördinaat, dan de $y$ coördinaat en tenslotte de $z$ -coördinaat.
De coördinaten van enkele andere hoekpunten zijn:
$O(0, 0, 0)$ , $A(4, 0, 0)$ , $B(4, 2, 0)$ en $D(0, 0, 3)$ .

In een 3D assenstelsel kun je ook werken met vectoren, alleen in plaats van twee kentallen heb je er nu drie. Zo is:
$vec(OF) = ((4),(2),(3))$

Verder is:
$vec(OE) = ((4),(0),(3))$ , $vec(EG) = ((text(-)4),(2),(0))$ en $vec(AG) = ((text(-)4),(2),(3))$ .

Ook het midden van een lijnstuk kun je op dezelfde manier berekenen als in een gewoon tweedimensionaal assenstelsel. Ga na dat voor het midden $M$ van lijnstuk $BF$ geldt: $M((4+4)/2, (2+2)/2, (0+3)/2) = M(4; 2; 1,5)$ .

De lengte van $vec(OF)$ kan worden berekend door de stelling van Pythagoras uit te breiden naar drie dimensies: $|vec(OF)| = sqrt(4^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(29)$ .

Opgave 1

Bekijk Uitleg 1. Werken met coördinaten en vectoren in drie dimensies is in veel gevallen een eenvoudige uitbreiding van het werken in twee dimensies.

Beschrijf de vectoren $vec(CE)$ , $vec(EC)$ , $vec(DF)$ en $vec(DB)$ met kentallen.

Bereken het midden $N$ van lijnstuk $EG$ . Laat zien dat $N$ ook het midden van lijnstuk $DF$ is.

Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek toe te passen hoe de lengte van $vec(OF)$ wordt berekend.

Bereken de lengtes van de vectoren $vec(CE), vec(EC)$ en $vec(DF)$ .

Opgave 2

Bekijk in Uitleg 1 hoe je afstanden tussen punten kunt berekenen in 3D.

Bereken de afstand tussen de punten $B$ en $D$ .

$M$ is het midden van $BF$ en $N$ is het midden van $EG$ .

Bereken $|MN|$ .

Opgave 3

Getekend is piramide $ABCD.E$ in een 3D cartesisch assenstelsel.

Geef de coördinaten van de hoekpunten van de piramide.

Beschrijf de vectoren $vec(AB)$ , $vec(BD)$ en $vec(CE)$ met kentallen.

Uitleg 2| Verkennen