Lineair en hyperbolisch

Lineair en hyperbolisch > Omgekeerd evenredig

123456Omgekeerd evenredig

Uitleg

Op de Afsluitdijk ligt een snelweg met een lengte van $32$ $32$ km. Hoe hoger je snelheid, hoe korter de tijd dat je op de Afsluitdijk rijdt. De tijd die je nodig hebt, is omgekeerd evenredig met de snelheid: rijd je twee keer zo snel, dan heb je de helft van de reistijd nodig:

Rijd je $60$ $60$ km/h, dan ben je $\frac{32}{60} \cdot 60 = 32$ $32 /60 *60 =32$ minuten onderweg.
Rijd je $120$ $120$ km/h, dan ben je $\frac{32}{120} \cdot 60 = 16$ $32 /120 *60 =16$ minuten onderweg.

Je ziet dat je de reistijd $t$ $t$ in minuten kunt berekenen door de afstand van $32$ $32$ km te delen door de snelheid $v$ $v$ (in km/h) en met $60$ $60$ te vermenigvuldigen: $t = \frac{32}{v} \cdot 60 = \frac{1920}{v}$ $t = 32/v * 60 = 1920/v$ . Ook geldt $v \cdot t = 1920$ $v * t = 1920$ .

Bij een formule zoals $t = \frac{1920}{v}$ $t = 1920/v$ spreek je van een omgekeerd evenredig verband.

De grafiek van zo'n omgekeerd evenredig verband is een hyperbool. Je ziet de hyperbool bij de formule $t = \frac{1920}{v}$ $t = 1920/v$ voor positieve waarden van $t$ $t$ en $v$ $v$ .

Opgave 1

Je rijdt $32$ $32$ km over de snelweg.

Hoeveel minuten doe je daarover als je $80$ $80$ km/h rijdt?

Hoeveel minuten doe je daarover als je $40$ $40$ km/h rijdt?

Als het goed is, heb je bij a en b ontdekt dat bij een twee keer zo grote snelheid een half keer zo grote reistijd hoort.

Laat met behulp van de formule in de Uitleg 1 zien dat dit altijd waar is door de formules bij $v$ $v$ en bij $2 v$ $2 v$ met elkaar te vergelijken.

Controleer de grafiek van $t = \frac{1920}{v}$ $t = 1920/v$ . Maak daartoe een tabel met voor $v$ $v$ de waarden $10$ $10$ , $20$ $20$ , ...

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid bijna $0$ $0$ wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

Wat betekent het voor de reistijd als je snelheid heel groot wordt? Wat betekent dit voor de grafiek?

Opgave 2

Elk omgekeerd evenredig verband heeft een formule van de vorm $y = \frac{c}{x}$ $y=c/x$ waarin $c$ $c$ een constant getal is. Je kunt voor $c$ $c$ getallen kiezen. Neem alleen niet $c = 0$ $c = 0$ .

Neem $c = 1$ $c=1$ en bekijk de grafiek. De grafiek gaat door de punten $(1, 1)$ $(1, 1 )$ , $(2; 0,5)$ $(2; 0,5)$ en $(0,5; 2)$ $(0,5; 2)$ . Laat zien dat deze punten ook aan de formule voldoen.

Welke waarde heeft $y$ $y$ als $x = 100$ $x=100$ ?
En als $x = 100000$ $x=100000$ ?

Bij welke waarde van $x$ $x$ geldt $y = 100$ $y=100$ ?
En welke als $y = 100000$ $y=100000$ ?

Voor verschillende waarden van $c$ $c$ krijg je verschillende grafieken. Het zijn allemaal hyperbolen.

Bij welke waarde van $c$ $c$ gaat die hyperbool door het punt $(2, 3)$ $(2, 3)$ ?

Waarom hebben al deze grafieken geen punt met $x = 0$ $x = 0$ ?

Opgave 3

Het omgekeerde van een getal $g$ $g$ is het getal dat met $g$ $g$ vermenigvuldigd $1$ $1$ oplevert.

Laat zien dat het omgekeerde van $g$ $g$ gelijk is aan $\frac{1}{g}$ $1/g$ .

Wat is het omgekeerde van $3$ $3$ ?
En van $\frac{3}{7}$ $3/7$ ?

Waarom heeft $0$ $0$ geen omgekeerde?

Leg uit waarom "omgekeerd evenredig" hetzelfde betekent als "recht evenredig met het omgekeerde" .

Theorie| Verkennen